5.2.4 Интервальные оценки дисперсии (среднеквдратического отклонения) при неизвестном математическом ожидании

Рассматривается случайная выборка генеральной случайной величиныХ, нормально распределенной с неизвестными параметрамиаи Наилучшей оценкой дисперсии является Распределение статистики совпадает с распределением Используем таблицу 3: по и находимпоинаходим С вероятностью выполняется неравенство:

Разрешим это неравенство относительно

(5.2.4)

С доверительной вероятностью доверительный интервал покрывает параметр

Пример 1. Дана выборка случайной величиныХ, нормально распределенной с неизвестным математическим ожиданиемаи среднеквадратическим отклонением С доверительной вероятностью 0,9 найти доверительный интервал для параметраа.

	3	4	5	6	7
	6	9	15	10	5

Вычислим п– объем выборки:

Найдем оценку математического ожидания:

Доверительная вероятность Используем таблицу 1 для нахождения

Тогда

Из (5.2.1) следует, что

Доверительный интервал покрывает параметрас доверительной вероятностью 0,9.

Пример 2. Дана выборка нормально распределенной случайной величины:

	-1	0	1	2
	6	16	14	4

При уровне значимости 0,05 найти интервальную оценку математического ожидания генеральной случайной величины.

Дана выборка объема Найдем точечные оценки математического ожидания и дисперсии:

Уровень значимости Из таблицы 2 по (в таблице нет берем близкое к нему ) и найдем

Согласно (5.2.2) определим границы доверительного интервала:

Тогда С доверительной вероятностью 95% доверительный интервал покрывает параметра.

Пример 3. Дана выборка нормально распределенной случайной величины с известным математическим ожиданием С доверительной вероятностью 0,9 найти интервальную оценку среднеквадратического отклонения

	3	5	7	9	11
	5	26	40	25	4

Объем выборки Найдем оценку дисперсии:

Уровень значимости Из таблицы 3 по и находим по и находим

Находим границы доверительного интервала:

Тогда и является требуемым доверительным интервалом для среднеквадратического отклонения

Пример 4. Дана выборка нормально распределенной случайной величины:

	-0,5	-0,4	-0,2	0	0,2	0,6	0,8	1	1,2	1,5
	1	2	1	1	1	1	1	1	2	1

Оценить с доверительной вероятностью 0,9 среднеквадратическое отклонение с помощью доверительного интервала.

Объем выборки Найдем оценки математического ожидания и дисперсии:

Работаем с таблицей 3: по и находим по и находим

Находим границы доверительного интервала:

Тогда Интервал является интервальной оценкой среднеквадратического отклонения с доверительной вероятностью 0,9.

§ 6. Проверка статистических гипотез

6.1 Основные понятия

На основе выборочных наблюдений выдвигаются предположения относительно свойств случайных величин, лежащих в основе наблюдаемых явлений. В математической статистике предположения называются гипотезами, при этом рассматриваются только статистические гипотезы, к которым относятся гипотезы о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

Обозначаются гипотезы для каждой из них дается словесное описание. Далее в соответствии с правилами на основе выборки принимается одна из гипотез.

Основнойназывается та гипотеза, в справедливости которой мы желаем убедиться. Основная гипотеза обозначается

Конкурирующаягипотеза противоречит основной. Поэтому гипотеза часто называетсяальтернативной.

В ходе статистической проверки может быть принято правильное или неправильное решение, то есть допущена ошибка. Различаются ошибки двух родов:

1. принята гипотеза тогда, когда на самом деле верна гипотеза это ошибка первого рода. Вероятность ошибки первого рода называетсяуровнем значимостии обозначается

2. принята гипотеза тогда, когда на самом деле верна гипотеза это ошибка второго рода, ее вероятность обозначается

В зависимости от цели наблюдения задается значение ошибки первого или второго рода. Мы будем рассматривать тот случай, когда задается ошибка первого рода. В качестве уровня значимости обычно берется значение из множества

Правильное решениетоже будет двух родов:

1. принять гипотезу тогда, когда на самом деле верна эта гипотеза. Вероятность такого решения равна:

Значение называетсядоверительной вероятностью.

2. принять гипотезу тогда, когда на самом деле она верна. Вероятность этого события равна:

Значение называетсямощностью критерия.

С целью проверки нулевой гипотезы вводится случайная величина, которую называют статистическим критерием, или простокритерием. Обычно критерий обозначается буквойКили буквой, соответствующей распределению критерия. Правомерность выбора статистики в роли критерия доказывается математическими методами. Исследователю, не математику, предлагается готовый вид критерия. Статистический критерий должен удовлетворять следующим основным условиям:

1. значение критерия подсчитывается на основе выборки, это значение обозначается .

2. распределение статистики Кизвестно в предположении, что нулевая гипотеза верна.

Зная вид распределения критерия по данному уровню значимости , мы можем определить критические точки и получить одну или несколько точек. Критические точки обозначаются и находятся по таблицам, связанным с распределением критерия.

Множество значений критерия Кделится накритическую областьиобласть принятия решения. Критические точки отделяют критическую область от области принятия решения. Будем обозначать критическую область . При изменении гипотезы критическая область существенно меняется.

Если наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область, то принимают гипотезу

верна.

Если наблюдаемое значение критерия не попадает в критическую область, то принимают гипотезу

верна.

Отметим основные этапы статистической проверки гипотезы:

1. Сформулировать нулевую и альтернативную гипотезы;

2. Задать уровень значимости

3. Определить выражения критерия Ки распределение его при предположении, что гипотеза верна;

4. Определить критическую область из условия:

(вероятность того, что значение критерия Кпопадет в критическую область при условии, что нулевая гипотеза верна, равна уровню значимости );

5. По выборке вычислить значение критерия К, то есть найти

6. Принять решение:

а)если то принять гипотезу

б)если то принять гипотезу

Выбор решения носит случайный характер. Поэтому применяют более точную формулировку. В случае 6 а)говорят, что при заданном уровне надежности данные выборки не подтверждают гипотезу А в случае 6б)говорят, что при заданном уровне надежности данные выборки не противоречат гипотезе