§ 5. Понятие интервальной оценки

5.1 Основные понятия

Рассматривается выборка некоторой генеральной случайной величины. Поставим задачу нахождения интервала, покрывающего величину с заданной вероятностью, близкой к единице. Требуется определить статистики (границы интервала)

такие, что интервал накрывает величину с вероятностью

Интервал называетсяинтервальной оценкой, илидоверительным интервалом. Величина называетсяуровнем значимости. Значение называетсянадежностью интервальной оценки, илидоверительной вероятностью. Выбор доверительной вероятности определяется конкретными условиями, причем берутся равными 0,9; 0,95; 0,99.

Часто доверительный интервал симметричен относительно некоторой статистики

Величина является случайной, она называетсяошибкой оценки

Одним из подходов к построению доверительного интервала является нахождение статистики . Распределение статистики должно быть известно и не должно зависеть от ; сама функция должна быть монотонной по

По заданной доверительной вероятности находят доверительные критические границы и , отвечающие вероятности Доверительные критические границы определяют по таблицам, связанным с распределением статистики Тогда выполняется равенство:

Решив неравенство относительно находим границы доверительного интервала для

5.2 Доверительные интервалы для параметров нормального распределения

Дана выборка нормально распределенной случайной величиныХ. При различных условиях найдем доверительные интервалы для параметров распределенияаи

5.2.1Интервальные оценки для математического ожидания при известной дисперсии

Эффективной оценкой параметра аявляется Статистика имеет стандартное нормальное распределение. Используем таблицу 1 (значений функции Лапласа) для решения уравнения Тогда

Неравенство разрешим относительноа:

(5.2.1)

При этом ошибка оценки параметрааравна Итак,с вероятностью доверительный интервал накрывает величину а.

5.2.2 Интервальные оценки математического ожидания при неизвестной дисперсии

Генеральная случайная величина Храспределена нормально с неизвестным математическим ожиданиемаи неизвестной дисперсией Эффективной оценкой для параметрааявляется оценка а эффективной оценкой для дисперсии является Статистика имеет распределение Стьюдента с степенью свободы. Распределение этой статистики не зависит от параметроваи

Случайную величину, имеющую распределение Стьюдента с kстепенями свободы, принято обозначать В таблице 2 даны значения соответствующие вероятности Задавая число степеней свободыkи вероятностьр, находим значение По и при помощи таблицы 2 определяем значение

И так как распределение статистики совпадает с распределением то имеем:

Решаем неравенство относительноа, получаем:

(5.2.2)

При этом ошибка оценки параметрааравна Таким образом,с вероятностью доверительный интервал покрывает величинуа.

5.2.3 Интервальные оценки дисперсии (среднеквадратического отклонения) при известном математическом ожидании

Рассматривается случайная выборка генеральной случайной величиныХ, нормально распределенной с известным математическим ожиданиемаи неизвестной дисперсией Эффективной оценкой дисперсии является Статистика распределена по закону спстепенями свободы. Распределение от величины не зависит.

Случайную величину, распределенную по закону сkстепенями свободы, принято обозначать В таблице 3 указаны значения соответствующие вероятности Задаваяри число степеней свободыk, определяем Из таблицы 3 по и находим по и находим Так как статистика распределена по закону то

Решаем неравенство относительно получаем:

(5.2.3)

Итак, с доверительной вероятностью доверительный интервал покрывает величину

В данном случае доверительный интервал не симметричен относительно оценки