3.3 Оценка функции распределения (эмпирическая функция распределения)

Оценкой функции распределения генеральной случайной величины Х служит функция распределения выборочной случайной величины

Часто индексы опускаются. Используем построение функции распределения дискретной случайной величины:

Удобно ввести функцию число членов выборки меньших х. Тогда

Оценку функции распределения генеральной случайной величины называют еще эмпирической функцией распределения.

Пример 1. По данным выборки 2, 0, -1, 1, 2, 1, 5 построить эмпирическую функцию распределения.

Построим вариационный ряд:

-1, 0, 1, 1, 2, 2, 5.

Число членов выборки Запишем закон распределения выборочной случайной величины:

	-1	0	1	2	5

Построим функцию распределения случайной величины

Запишем эмпирическую функцию распределения:

Пример 2. По данным выборки построить эмпирическую функцию распределения:

	3	8	10
	20	30	50

Объем выборки

Запишем закон распределения выборочной случайной величины:

	3	8	10
	0,2	0,3	0,5

Построим функцию распределения:

3.4 Оценка плотности распределения (гистограмма)

В тех случаях, когда объем выборки велик и достаточно много выборочных значений мало отличающихся друг от друга, возникает предположение о непрерывности распределения генеральной случайной величины. Наблюдатель изначально может знать, является ли генеральная случайная величина непрерывной. В этих случаях строится аналог функции плотности распределения.

Будем считать, что задан интервальный вариационный ряд (§ 2 Пособия). Над каждым промежутком строится прямоугольник высоты где число членов выборки, попавших в i-ый промежуток, длина i-го промежутка, п – объем выборки. Площадь прямоугольника над i-м промежутком является оценкой вероятности попадания генеральной случайной величины в i-ый промежуток. Гистограммой называется объединение построенных прямоугольников. При этом объединение площадей построенных прямоугольников приближенно является подграфиком плотности распределения. Значит, верхняя часть контура гистограммы дает приблизительное представление о графике плотности распределения генеральной случайной величины.

По виду гистограммы выдвигаются предположения о виде распределения генеральной случайной величины.

Пример 3. Задан интервальный вариационный ряд:

Интервалы
Частоты	10	20	25	15

Построить гистограмму.

Определим объем выборки:

Вычислим значения высот прямоугольников:

Построим гистограмму:

§ 4. Точечные оценки параметров распределения

Задана выборка некоторой генеральной случайной величины Х. Известен вид закона распределения генеральной случайной величины Х, но неизвестны некоторые параметры распределения. Требуется найти точечные оценки неизвестных параметров. С этой целью рассмотрим метод моментов и метод максимального правдоподобия.