6.3.2 Критерий Колмогорова

По выборке генеральной случайной величиныХ построена эмпирическая функция распределения

Рассматривается случай, когда гипотетическая функция полностью определена. С заданным уровнем значимостинужно проверить гипотезуто есть генеральная случайная величина имеет функцию распределения

Предполагается, что функция распределения непрерывна.Мера отклонения эмпирической функции распределения от гипотетической функции предложенная Колмогоровым, определяется следующим образом:

где рассматривается по всем возможным значениямх. Эмпирическая функция распределения строится по выборке объемап, поэтому величина зависит отп. Если рассматривать случайную выборку тослучайная величина.

Нас интересует предельное, при распределение статистикивычисленное в предположении, что гипотезаверна. Ответ на вопрос дает

Теорема Колмогорова. Какова бы ни была непрерывная функция распределения функция распределения статистикипристремится к функции

Функция распределения табулирована ввиду важности для практики. Для некоторыхр приведем таблицу значений соответствующих вероятности(таблица 6.3.2.1):

Таблица 6.3.2.1

р	0,6	0,7	0,9	0,95	0,975	0,995	0,999	0,9995
	0,89	0,97	1,22	1,36	1,48	1,73	1,95	2,03

Итак, с заданным уровнем значимости нужно проверить гипотезу

Критерий Колмогорова применяется только в том случае, когда гипотетическая функция распределения непрерывна и полностью определена (все параметры указаны).

Этапы проверки гипотезы:

1 этап. По выборке находится эмпирическая функция распределения.

2 этап. Статистика является критерием. Вычисляется наблюдаемое значение критерия:

3 этап. При помощи таблицы 6.3.2.1 по определяется критическое значение(значениеназывается доверительной вероятностью). Критической областью является множество

4 этап. Гипотеза согласуется с выборочными наблюдениямис заданным уровнем значимостиесли

Гипотеза о согласии эмпирических данных с функцией распределенияотвергается с уровнем значимостиесли

Пример 1. Датчик случайных чисел выдает независимые значения случайной величины. Получены следующие 20 значений: 0,100; 0,253; 0,520; 0,863; 0,354; 0,809; 0,911; 0,292; 0,453; 0,204; 0,648; 0,429; 0,805; 0,372; 0,610; 0,008; 0,166; 0,422; 0,531; 0,509. С помощью критерия Колмогорова с уровнем значимости 0,1 проверить гипотезу о том, что данная выборка извлечена из генеральной совокупности с равномерным распределением на

Запишем вариационный ряд. Для каждого выборочного значения укажем его номер в вариационном ряду:

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0,08	0,10	0,166	0,204	0,253	0,292	0,354	0,372	0,422	0,429
i	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	0,453	0,509	0,520	0,531	0,610	0,648	0,805	0,809	0,863	0,911

Все выборочные значения разные. Объем выборки Находим эмпирическую функцию распределения:

Функция распределения равномерного закона с параметрами иявляется теоретической (гипотетической):

Укажем значения эмпирической и гипотетической функций распределения в точках

	0,08	0,10	0,166	0,204	0,253	0,292	0,354	0,372	0,422	0,429
	0	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45
	0,08	0,10	0,166	0,204	0,253	0,292	0,354	0,372	0,422	0,429
	0,08	0,05	0,066	0,054	0,053	0,042	0,054	0,022	0,022	0,021
	0,453	0,509	0,520	0,531	0,610	0,648	0,805	0,809	0,863	0,911
	0,50	0,55	0,60	0,65	0,70	0,75	0,80	0,85	0,90	0,95
	0,453	0,509	0,520	0,531	0,610	0,648	0,805	0,809	0,863	0,911
	0,053	0,041	0,080	0,119	0,090	0,102	0,005	0,041	0,037	0,039

Находим наблюдаемое значение критерия К:

По таблице 6.3.2.1 при находим критическую точку

Наблюдаемое значение критерия не превосходит критического значенияПоэтому гипотезао согласии экспериментальных данных с функцией распределения равномерного закона с параметрамипринимается.

108