§ 8. Регрессионный анализ

8.1. Построение выборочного уравнения линейной регрессии по негруппированным данным. Выборочный коэффициент корреляции

Рассматривается опыт, который описывается случайными величинами и. В результатеп независимых опытов поучается п пар чисел Возможна и другая модель: случайная величинаописывает входные данные опыта, а случайная величинаотражает результат опыта. Входные данные и результат эксперимента носят случайной характер. Поэтому при условиимы можем получить несколько значений случайной величины.

Условным средним называется среднее арифметическое наблюдаемых значений, соответствующих

пример 1. Случайная величина Х показывает рост человека, а - его вес. Дана выборка зависимых случайных величини:

	160	165	160	170	160	165	170	155	160
	70	60	65	80	70	75	80	85	60

Найти условные средние.

В выборке значение встречалось четыре раза:Тогда

Значение встречается в выборке два раза:Тогда.

Значение встречается в выборке два разаТогда

Значение встречается в выборке только один раз. Поэтому

Условное среднее является функцией отх:

Это уравнение называется выборочным уравнением регрессии на .

Порой рассматривается зависимость случайной величины от.

Условным средним называется среднее значение наблюдаемых, соответствующихУсловное среднееявляется функцией оту, а функция называетсявыборочным уравнением регрессии на .

Предполагается, что уравнение регрессии является линейным:В результате п опытов получена выборкаНужно найти линейное выборочное уравнение регрессиина в виде

Величины иявляются оценками величини

Рассматривается сумма

Оценки величин иопределяются из условия минимальности записанной суммы. Используется алгоритм нахождения точек экстремума функции двух переменных. Получаем:

Располагая результатами наблюдений можно не знать вида функции регрессии. При определенных условиях на проведение эксперимента по данным выборки можно проверить гипотезу о линейности функции регрессии:

Приведем оценки величин, входящих в линейное уравнение регрессии. Дана выборка случайных величин и:

Объем выборки равен п.

Мы уже рассматривали несмещенные оценки математических ожиданий:

Приведем смещенные состоятельные оценки дисперсий:

Приведем оценку корреляционного момента:

Эта величина называется выборочным корреляционным моментом. По значению определяетсявыборочный коэффициент корреляции.

где иоценки среднеквадратических отклонений.

С использованием введенных оценок можно записать выборочное уравнение регрессии:

Пример 2. Записать выборочное уравнение наи найти выборочный коэффициент корреляции по данным выборки.

	65	71	82	65	63	60	63	66	65	70
	72,9	48,4	65,3	64	62,7	75,5	72,8	50,6	40,8	50

Объем выборки .

Находим среднее арифметическое выборочных значений:

Для вычисления значений иудобно использовать следующую таблицу 8.1.1.

Таблица 8.1.1.

1	65	72,9	4738,9	42225	-2	10,6	21,2
2	71	48,4	3436,4	5041	4	-13,9	55,6
3	82	65,3	5354,6	6724	15	3	45
4	65	64	4160	4225	-2	1,7	-3,4
5	63	62,7	3950,1	3969	-4	0,4	-1,6
6	60	75,5	4530	3600	7	13,2	92,4
7	63	72,8	4586,4	3969	-4	10,5	-42
8	66	50,6	3339,6	4356	-1	-11,7	11,7
9	65	40,8	2652	4225	-2	-21,5	43
10	70	50	3500	4900	3	-12,3	-36,9
Сумма	670	623	40248	45234	-	-	185

Найдем оценки и:

Запишем выборочное линейное уравнение регрессии на.

Найдем оценку корреляционного момента:

Найдем оценки дисперсий

Найдем выборочный коэффициент корреляции: