§ 5. Корреляционная зависимость. Генеральный корреляционный коэффициент детерминации

Функция описывающая изменения условного математического ожидания случайной величиныпри изменении значенийх переменной Х, называется функцией регрессии. Если при изменении х условное математическое ожидание изменяется, то говорят, что имеет местокорреляционная зависимость от Х. Если , то корреляционной зависимостиY от Х нет.

Условное математическое ожидание является случайной величиной, она принимает значенияс той же вероятностью, с которой случайная величинаХ принимает значение

Математическое ожидание случайной величины совпадает с математическим ожиданием случайной величины

Условная дисперсия является случайной величиной, она принимает значенияс той же вероятностью, с которой случайная величинаХ принимает значение

Найдем среднее значение условной дисперсии:

Разброс значений случайной величины относительноопределяется ее дисперсиейЭтот разброс появляется из-за непосредственной зависимости от случайной величиныи из-за случайных факторов, действующих наY через Х. Справедливо тождество:

1. Величина

показывает разброс значений случайной величины связанных с ее зависимостью от фактораХ.

2. Влияние стохастических (остаточных) факторов на разброс значений указывает величина

Во введенных обозначениях имеем:

.

Степень стохастической зависимости отХ измеряется генеральным корреляционным коэффициентом детерминации.

Укажем свойства генерального корреляционного отношения как измерителя степени корреляционной и стохастической зависимости.

1.

2. Условие является необходимым и достаточным для отсутствия корреляционной зависимости:

Чем ближе генеральный коэффициент детерминации к нулю, тем меньше разброс относительных математических ожиданий относительно

3. Условие является необходимым и достаточным условием для функциональной зависимостиот.

При приближении к единице для каждого допустимого значениях уменьшается разброс значений относительноУвеличивается степень стохастической зависимостиот.

Пример 1. Задан совместный закон распределения случайных величин и.

	1	3	4
2	0,1	0,05	0,2
3	0,15	0,2	0,3

Случайная величина зависит от независимой переменной. Вычислить генеральный корреляционный коэффициент детерминации.

Найдем закон распределения случайной величины :

	2	3
	0,35	0,65

Найдем закон распределения случайной величины :

.

	1	3	4
	0,25	0,25	0,5

Найдем основные характеристики случайной величины :

Определим условный закон распределения случайной величины при условии

	1	3	4

Вычислим условное математическое ожидание и условную дисперсию при условии

.

Перейдем к условию

Определим условные закон распределения случайной величины при условии

	1	3	4

Вычислим условное математическое ожидание и условную дисперсию при условии

Условное математическое ожидание не изменяется.

Тогда, Корреляционная зависимость отсутствует.

Пример 2. Задан совместный закон распределения случайных величин

	2	5	6
0	0,05	0,2	0,15
1	0,1	0,05	0,05
3	0,15	0,05	0,2

Случайная величина зависима от случайной величины. Вычислить.

Найдем закон распределения случайной величины :

,

	0	1	3
	0,4	0,2	0,4

Найдем закон распределения случайной величины :

	2	5	6
	0,3	0,3	0,4

Определим среднее значение случайной величины Разброс значений случайной величиныотносительноизмеряется дисперсией.

Определим условное распределение при условии

	2	5	6

	2	5	6

Найдем условное математическое ожидание и условную дисперсию при условии

Рассмотрим условие

	2	5	6

Рассмотрим условие

	2	5	6

Запишем закон распределения условного математического ожидания :

	5
	0,4	0,2	0,4

Можно провести проверку вычисления значений случайной величины

тогда 4,5=4,5 верно.

Найдем дисперсию случайной величины

Нашли величину показывающую разброс значений случайной величины, связанной с зависимостью от Х.

Запишем закон распределения условной дисперсии

	0,4	0,2	0,4

Найдем математическое ожидание условной дисперсии:

Нашли показатель разброса значений связанный с влиянием остаточных факторов:

Определим генеральный коэффициент детерминации:

Генеральный коэффициент детерминации ближе к нулю, чем к единице. Поэтому корреляционная зависимость отмала: условные математические ожиданиямало изменяются с изменением.