§ 2. Закон распределения дискретной случайной величины

Если число значений случайной величины конечно или счетное, то ее называют дискретной.

Нас интересуют значения дискретной случайной величины и вероятности принятия случайной величиной этих значений.

Дискретная случайная величина считается заданной, если указаны ее значения и вероятности принятия их.

Пусть значения случайной величины перечислены . Вероятность принятия случайной величиной значения обозначим :

.

Соответствие между значениями случайной величины и вероятностями принятии значений называется законом распределения. Часто закон распределения записывается в табличной форме:

Значения случайной величины располагают в порядке возрастания.

Все значения случайной величины должны быть перечислены. Тогда .

Если число значений случайной величины достаточно большое, то описывают значения и задают формулу нахождения вероятности принятия значения по значению или его номеру.

Одно значение можно также считать случайной величиной, принимающей единственное значение с вероятностью 1:

	с	то есть
	1

Такую случайную величину называют постояннойи обозначают значениемс.

Пример 1. Запишем закон распределения случайной величины , построенной в примере 1 параграфа 1.

	0	1	2

Пример 2. Стрелок стреляет в мишень до первого попадания. Выстрелы производятся независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Записать закон распределения случайной величины , показывающей число использованных пуль.

Введем события:

стрелок не попал при i-м выстреле.

Из условия задачи .

Множество значений случайной величины совпадает с множеством натуральных чисел. Если использованоkпулей, то приk-м выстреле стрелок попал, а до этого были одни промахи. Тогда

.

Из условия независимости выстрелов:

.

Запишем закон распределения случайной величины :

§ 3. Числовые характеристики дискретных случайных величин

3.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пусть траз проведен эксперимент, результат которого описывается случайной величиной . Предположим раз было получено значение в серии проведенных экспериментов, . Тогда среднее значение случайной величины равно

.

Здесь относительная частота появления значения в результатетэкспериментов. Если числотпроведенных экспериментов велико, то . Поэтому приближенное значение среднего случайной величины подсчитывается по формуле .

Задан закон распределения случайной величины:

Сумма называетсяматематическим ожиданиемслучайной величины и обозначается :

Пример 1. Случайная величина показывает число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найти математическое ожидание случайной величины .

Случайная величина принимает 6 равновероятных значений:

	1	2	3	4	5	6

Тогда

Пример 2. Задан закон распределения дискретной случайной величиныХ:

	0	3	4
	0,1	0,5	0,4

Найдем математическое ожидание заданной случайной величины:

.

Если число значений случайной величины Хне конечно, то математическое ожидание ее может и не существовать. Пусть , тогда . Если полученный ряд сходится, то математическое ожидание случайной величины существует.

Пример 3. Рассмотрим случайную величину, построенную в примере 2 параграфа 2:

.

Ряд сходится по признаку Даламбера. Поэтому случайная величина имеет математическое ожидание

.