§ 5. Некоторые следствия из аксиом вероятности

Следствие 1. Вероятность любого события принадлежит отрезку от нуля до единицы:

Доказательство. Достоверное событие является следствием любого события А, и А является следствием невозможного события :

.

Из аксиомы 2 имеем . Используем аксиому 1, тогда .

Следствие 2. Вероятность того, что событие А не произойдет, равна единице минус вероятность того, что событие А произойдет:

Доказательство. События А и несовместны, в сумме образуют достоверное событие:

и .

Тогда . Из аксиом 1 и 2 вытекает , то есть .

Следствие 3. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий А и В, равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность того, что эти события произойдут одновременно:

Доказательство. Событие А имеет место, если одновременно произойдут события А и В или А и :

.

Слагаемые являются несовместными событиями. Из аксиомы 3 следует:

.

Аналогично, имеет место следующее равенство:

и .

Хотя бы одно из двух событий имеет место, если произойдет только одно из них или оба события одновременно:

.

Слагаемые являются попарно несовместными событиями. Из аксиомы 3 следует:

.

Учитывая разложения и , имеем:

.

§ 6. Классическое определение вероятности

Рассматривается случайный эксперимент, исходы которого описываются конечным числом элементарных событий

.

Всего п элементарных исходов. Каждый элементарный исход происходит с равной вероятностью

.

Говорят, что элементарные исходы равновозможны.

Элементарный исход считается благоприятным для события А, если это событие является следствием элементарного исхода :

благоприятный для А исход

Дадим классическое определение вероятности.

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу элементарных исходов.

Число благоприятных исходов события А обозначается . Общее число элементарных исходов обозначим . Тогда

Проверим выполнение аксиом вероятности.

1. Невозможное событие не содержит ни одного элементарного исхода и . Достоверное событие содержит все элементарные исходы и .

2. Если , то и . Тогда .

3. События А и В несовместные, тогда они не содержат одинаковых элементарных исходов. Следовательно, и . И .

Классическое определение вероятности является частным случаем аксиоматического определения.

Пример 1. Подбрасывается правильная монета. С какой вероятностью выпадет решка?

Пространство элементарных исходов состоит из двух элементов .

Событие А– выпала решка – имеет один благоприятный исходР. Тогда .

Пример 2. В урне 5 белых и 2 черных шара, наугад вынимаем один шар. С какой вероятностью будет вынут белый шар?

При построении пространства элементарных исходов нужно учесть число шаров каждого вида.

Введем события:

взяли i-й белый шар, ;

взяли i-й черный шар, .

Тогда и .

Событие В– взяли белый шар. Для него , . Тогда .

В каждом примере с учетом проводимого опыта строится пространство элементарных исходов.

Пример 3. В урне 5 белых и 2 черных шара. Наугад выбираем три шара. С какой вероятность среди выбранных шаров будет один черный?

В чем состоит опыт? Из семи шаров выбираем три, порядок выбора роли не играет. Тогда пространство элементарных исходов состоит из сочетаний из семи по три .

Нас интересует событие В– из трех выбранных два белых шара и один – черный. Из пяти белых выбираем два, это можно сделать способами. Из двух черных шаров можно выбрать один двумя способами. Каждый черный шар мы должны взять с каждой парой белых шаров, поэтому

и .