Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский государственный университет сервиса

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Демо вариант

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

2.62 Mб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Демонстрационный вариант

Часть А

А.1. Заполните пропуски, чтобы получилось истинное утверждение:

Большим кругом называется сечение…

А.2. Сделайте рисунок пирамиды, в основании которой лежит квадрат и одно из боковых рёбер перпендикулярно основанию, обозначьте её: вершину, апофему, высоту, боковые рёбра, основания, боковые грани.

А.3. Запишите, как относятся объёмы двух усечённых пирамид с одинаковыми высотами.

А.4. Основание призмы трапеция. Какие из следующих пар прямых являются скрещивающимися?

Варианты ответов.

Записать определение скрещивающихся прямых и сделать перебор представленных ответов.

1) 2)

3) 4)

А.5. Укажите плоскость, параллельную прямой, проходящей через точки пересечения диагоналей двух граней и параллелепипеда .

Варианты ответов.

1) 2) 3) 4)

А.6. Основание пирамиды параллелограмм. Укажите плоскость, параллельную плоскости, проходящей через середины рёбер .

Варианты ответов. 1) 2) 3) 4)

А.7. Расстояние между осью цилиндра и параллельным ему сечением равно . Радиус основания и высота цилиндра равны . Найдите площадь сечения.

Решение.

Рассмотрим равнобедренный,.

(так как треугольник равнобедренный), . По теореме Пифагора получим

А.8. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно , а сторона основания . Найдите тангенс угла наклона боковой грани к плоскости основания.

Решение.

А.9. Через вершину квадрата проведён перпендикуляр к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки до прямой, проходящей через середины сторон , если .

ешение.

равнобедренный треугольник. Отрезок диагональ квадрата и равен:.

, как средняя линия .

Рассмотрим треугольник (по теореме Пифагора): .

Рассмотрим треугольник (по теореме Пифагора):

А.10. В основании наклонной призмы лежит правильный треугольник.

Радиус окружности, вписанной в основание, равен , а её боковое ребро, равное , наклонено к плоскости основания под углом . Найдите объём призмы.

равносторонний треугольник,

А.11. Высота правильной четырёхугольной призмы

равна , а сторона основания. Найдите расстояние между вершиной и точкой пересечения диагоналей грани .

Решение.

Найдём диагональ

Найдём высоту равнобедренного треугольника :

Высота, опущенная из точки на сторону , делит на два равных отрезка. Найдём проекцию

Найдём искомое расстояние .

А.12. Найдите объём конуса, если угол при вершине его осевого сечения равен , а радиус описанного около конуса шара равен .

Решение.

Замечания.

1. Шар можно вписать в любой конус.

2. Шар касается основания конуса в его центре и боковой поверхности конуса по окружности, лежащей в плоскости, параллельной основанию конуса.

3. Центр шара лежит на оси конуса и совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник, являющийся осевым сечением конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Обозначим сторону треугольника. Треугольник будет равносторонним, так как угол при вершине равен , образующие конуса являются сторонами треугольника (осевого сечения), то есть тоже .

Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности и высота конуса:

А.13. Объём цилиндра равен , а радиус его основания . Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Решение.

А14. Основание прямой призмы – прямоугольник со сторонами , а её высота равна . Найдите тангенс угла между диагональю призмы и плоскостью большей по площади боковой грани.

Решение.

С1

А1

С1

По теореме косинусов, получим:

А15. Расстояние между плоскостью основания конуса и параллельной ей секущей плоскостью равно . Высота конуса равна , а радиус сечения . Найдите площадь основания.

Решение.

Обозначим вершину конуса через . .

Треугольники

Часть В

В1. Основание пирамиды – треугольник со сторонами . Боковые грани наклонены к основанию под углом . Найдите высоту пирамиды.

Решение.

В2. Высота правильной шестиугольной призмы равна , а площадь основания . Найдите длину большей диагонали призмы.

правильная шестиугольная призма; в основании правильный шестиугольник со стороной . . Проведём из вершины диагонали и оценим их длины

. Угол . По теореме косинусов найдём :

Сравним . Значит, большая диагональ это

так как проекция наклонной большая.

Найдём площадь правильного шестиугольника:

. Выразим сторону шестиугольника:

Рассмотрим треугольник прямоугольный, так как призма правильная, по теореме Пифагора найдём искомую диагональ:

Основные формулы стереометрии
Призма		Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней: , где - площадь полной поверхности призмы; площадь боковой поверхности призмы; - площадь основания призмы. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы:. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: . Объем куба равен кубу его ребра: . Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту: .
Пирамида		Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. , где площадь полной поверхности пирамиды; площадь боковой поверхности пирамиды; площадь основания пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему: . Для правильной угольной пирамиды со стороной основания и апофемой : . Площадь боковой поверхности пирамиды, в которой все двугранные углы при основании равны , вычисляется по формуле: , где площадь основания пирамиды.
Усеченная пирамида		Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. , где площадь полной поверхности усеченной пирамиды; площадь боковой поверхности усеченной пирамиды; площади оснований усеченной пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований на апофему: , где периметры оснований, апофема. , где площади оснований усеченной пирамиды
Цилиндр		Площадью боковой поверхности цилиндра называется площадь ее развертки: , гдевысота цилиндра,длина окружности основания цилиндра. Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований: .
Конус		Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле , где радиус основания конуса, длина его образующей. Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания: . .
Усеченный конус		Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле , где и радиусы оснований, образующая усеченного конуса. Площадь полной поверхности усеченного конуса с образующей и радиусами оснований и вычисляется по формуле .
Шар		Объем шара с диаметром вычисляется по формуле: . Площадь сферы радиуса вычисляется по формуле: .
Шаровой сегмент
Шаровой сектор
Шаровой слой
Основные формулы планиметрии, используемые для решения стереометрических задач
Произвольный треугольник высота к стороне ; радиус описанной окружности; радиус вписанной окружности; полупериметр.	Теорема синусов: . Теорема косинусов: . Площадь треугольника: (формула Герона). Формулы радиусов:.
Прямоугольный треугольник радиус описанной окружности; радиус вписанной окружности.	Теорема Пифагора: . Тригонометрические функции: . Формулы радиусов: . Площадь: . Метрические соотношения: .
Равносторонний треугольник	Формула высоты: . Площадь: Формулы радиусов:
Произвольный параллелограмм диагонали; угол между диагоналями.	Связь между диагоналями и сторонами: . Площадь:
Прямоугольник	Площадь: . Радиус описанной окружности:
Ромб диагонали.	Площадь: . Радиус вписанной окружности: .
Квадрат	Площадь: . Формулы радиусов: .
Трапеция	Площадь: . диагонали; угол между диагоналями.
Правильная пирамида
S A D C E H O B K a F h
Правильная треугольная пирамида
A			H – высота, h – апофема а – сторона основания AB = BC = AC = a (в основании – правильный треугольник)

Правильная четырехугольная пирамида
Р С А В D O H a h K
H – высота, h – апофема; а – сторона основания AB = BC = CD = DA = a (в основании – квадрат); К – середина DC.
Правильная шестиугольная пирамида
S А В С D О E K h F a H
Усеченная пирамида
P P А А А А O A₁A₂…A_n – произвольная пирамида; α – плоскость основания; β – секущая плоскость; PB₁B₂…B_n – пирамида; B₁B₂…B_n– верхнее основание_;A₁A₂…A_n – нижнее снование; A₁B₁B₂A₂; …; A_nB_nB₁A₁ –боковые грани – трапеции; A₁B₁; A₂B₂; …; A_nB_n – боковые ребра; OO₁= H – высота
Правильная треугольная усеченная пирамида – боковые грани – равные между собой равнобокие трапеции.
Δ ABC и Δ A₁B₁C₁ – равносторонние треугольники. OO₁= H – высота ; КК₁ = h – апофема. А В K С О a M h H b
Правильная четырехугольная усеченная пирамида – боковые грани – равные между собой равнобокие трапеции.
А C B H h K D O b a
ABCD и A₁B₁C₁D₁ – квадраты OO₁ = H – высота KK₁ = h – апофема
Правильные многоугольники
				Связь м/у
3
4
6
8
12