3.3 Конечные разности

Пусть функция задана таблицей с постоянным шагом. Разности между значениями функции в соседних узлах интерполяции называются конечными разностями первого порядка:

Из конечных разностей первого порядка образуются конечные разности второго порядка: и так далее: – конечная разность k- того порядка (i=0,1,2...).

Конечные разности любого порядка могут быть представлены через значения функции: ,

.

Конечные разности принято сводить в таблицу:

Таблица 3.2

					…
				…
			…
		…
…	…

3.4 Разделенные разности

Разделенной разностью 1-го порядка называется отношение: , а если промежутки интерполирования одинаковы, то .

Для любого : , а если промежутки интерполирования одинаковы, то .

Из разделенных разностей первого порядка составляют разделенные разности второго порядка: .

Разделенной разностью второго порядка называется, для любого узла:

.

Разделенной разностью -го порядка называется:

, а для равных промежутков: .

Разделенную разность тоже принято сводить в таблицу:

Таблица 3.3

					…
				…
			…
		…
…	…

Главное свойство:

Конечные и разделенные разности n-го порядка от многочлена степени n постоянны, а порядка равны нулю.

3.5 Интерполяционный многочлен Ньютона

Пусть для функции составлена таблица разделенных разностей (3.3). Приведем без вывода формулу интерполяционного многочлена Ньютона, для произвольных узлов, т.е.:

(3.8).

Формула Ньютона удобна для вычисления на ЭВМ.

3.6 Интерполяционные формулы Ньютона для равных промежутков

Пусть, где _.

Запишем интерполяционный многочлен Ньютона для неравных промежутков, заменив разделенные разности соответствующими формулами, связав их с конечными разностями.

(3.9).

Обозначим , тогда получим:

(3.10).

Эта формула называется первой интерполяционной формулой Ньютона для равных промежутков.

Полученное выражение может аппроксимировать функцию на всем отрезке изменения аргумента . Однако, формулу лучше использовать для интерполирования в начале отрезка интерполяции, то есть когда t мало по абсолютной величине. Поэтому первую интерполяционную формулу называют формулой для интерполирования вперед.

Когда значение аргумента ближе к концу отрезка интерполяции, то применяют вторую интерполяционную формулу Ньютона:

(3.11)

Или:

(3.12), здесь .

Вторая интерполяционная формула Ньютона называется формулой для интерполирования назад.

Заметим, что при изменении степени n у интерполяционного многочлена Ньютона, требуется только добавить или отбросить соответствующее число стандартных слагаемых. Это очень удобно на практике.

Очевидно, что при составлении интерполяционных формул Ньютона на практике можно пренебречь членами, в которых соответствующие конечные разности равны или близки к нулю. Поэтому при составлении интерполяционных многочленов вычисления обрывают на членах, содержащих такие разности, которые в пределах заданной точности можно считать постоянными.

Итак, мы получили различные записи интерполяционного многочлена. В силу единственности интерполяционного многочлена для фиксированного отрезка интерполирования изложение вопроса о погрешности метода одинаково годится как для многочлена Лагранжа, так и для многочлена Ньютона.

Остаточный член интерполяционного многочлена:

.

, , где - это максимальное значение из модулей конечных разностей -го порядка.

Эти формулы удобны тем, что позволяют делать оценку ошибки метода интерполирования без исследования -й производной интерполируемой функции , в частности когда аналитическое выражение ее вовсе неизвестно.

Пример

Для функции, заданной таблично построить интерполяционные многочлены Ньютона и Лагранжа:

x	-1	0	1	2	3	5	6	7
y	5	1	-1	-1	1	5	19	29

Строим таблицу конечных и разделенных разностей:

x	y
-1 0 1 2 3 4 5 6 7	5 1 -1 -1 1 5 11 19 29	-4 -2 0 2 4 6 8 10	2 2 2 2 2 2 2	0 0 0 0 0 0	-4 -2 0 2 4 6 8 10	1 1 1 1 1 1 1

Видим, что вторые конечные (и разделенные) разности постоянны, следовательно мы будем выбирать многочлен второй степени.

Построим интерполяционный многочлен Лагранжа по формуле (3.6):

.

Поскольку шаг интерполирования постоянный, можем использовать и формулу (3.7): , , тогда

Построим многочлен Ньютона по формуле (3.8), считая шаг интерполяции , значения разделенных разностей возьмем из нашей таблицы:

.

Построим многочлен Ньютона по формуле интерполирования вперед (3.10): , , , тогда: и .

Построим многочлен Ньютона по формуле интерполирования назад (3.11): , , : .

И, наконец, построим многочлен Ньютона по формуле интерполирования назад (3.11),но , , :

.

Интерполирование может применяться для уплотнения заданной таблицы функции, т.е. вычисления по исходной таблице новой таблицы с большим числом значений аргумента на прежнем участке его изменения. Эту операцию называют иногда субтабулированием функции. В случае, когда исходная таблица является таблицей с постоянным шагом, естественно применять интерполяционный многочлен Ньютона. При заданном числе узлов (т.е. при условии, что конечные разности и степень полинома определены вручную) для расчетов на ЭВМ формулы Ньютона удобно представлять по схеме Горнера. Использование схемы Горнера позволяет вычислять значение в цикле. Если же максимальный порядок используемых конечных разностей невелик, для вычисления значений могут использоваться формулы Ньютона в их стандартном виде.