3. Зразки виконання завдань.

   1. Розв’язання завдань з теми «Лінійна та векторна алгебри. Елементи аналітичної геометрії».

Завдання 1.

Задано матриці _{і .}

1. Обчислити матриці ,,,.

2. Записати матричне рівняння , де, у вигляді системи лінійних рівнянь.

3. Розв’язати систему:

а) матричним методом;

б) за формулами Крамера;

в) методом Гаусса.

Розв’язання. 1. Транспонуємо матрицю :

і знайдемо матриці ,,і:

;

;

;

2. Запишемо матричне рівняння :

і виконаємо множення матриць в лівій частині рівняння

З рівності матриць однакового розміру маємо систему лінійних рівнянь

Розв’яжемо отриману систему вказаними в умові методами:

а) матричним методом.

Розв’язком матричного рівняння є матриця, де- обернена матриця, яка обчислюється за формулою

.

Обчислимо визначник системи

Оскільки , то обернена матриця існує. Обчислимо її елементи- алгебраїчні доповнення елементів матриці.

, ,,

, ,,

, ,.

Запишемо обернену матрицю і знайдемо розв’язок системи:

,

.

Остаточно маємо . Звідки,,.

б) Розв’яжемо систему за формулами Крамера.

Оскільки головний визначник системи вже обчислено, то обчислимо допоміжні визначники:

;

;

;

За формулами Крамера отримаємо наступний розв’язок системи ():

; ;.

в) Розв’яжемо систему методом Гаусса.

Поміняємо місцями перше та друге рівняння:

Нове перше рівняння системи приймемо за перше ведуче рівняння системи. Виключимо з другого і третього рівнянь. Для цього помножимо перше рівняння наіі по черзі додамо до другого і третього рівнянь.

Отримаємо

Поділимо друге рівняння на і приймемо його за друге ведуче рівняння:

Виключимо з третього рівняння. Для цього помножимо друге рівняння на 19 і додамо до третього:

Прямий хід метода Гаусса закінчено. Обернений хід: з третього рівняння знаходимо , з другого -, з першого -:

Розв’язок системи: .

Відповідь. ,,.

Завдання 2.

Задано вектори .,,у деякому базисі. Показати, що вектори,,утворюють базис та знайти координати векторау цьому базисі.

Розв’язання. Вектори ,,утворюють базис у тривимірному просторі, якщо вони некомпланарні. Щоб перевірити це, знайдемо мішаний добуток цих векторів:

.

Оскільки , то вектори,,некомпланарні і утворюють базис, в якому векторматиме розклад

(2.1)

або

,

де ,,- координати векторав цьому базисі. Для їх обчислення складемо систему рівнянь:

Розв’яжемо систему за формулами Крамера: ,,.

,

,

,

.

Отже, ,,.

Підставимо ,,у формулу (2.1) і одержимо розкладання вектора:

.

Відповідь. Вектори ,,утворюють базис у тривимірному просторі. Векторв цьому базисі має розклад.

Завдання 3.

Задано координати вершин піраміди :,,. Знайти:

1) кут між ребром та гранню;

2) площу грані ; 3) об’єм піраміди;

4) рівняння висоти, яку проведено з вершини до грані.

Розв’язання. 1) Синус кута між ребром та граннюобчислимо за формулою

, (3.1)

де ,,- координати нормального вектора площини (грані), а,,- координати напрямного вектора прямої.

Складемо рівняння грані як рівняння площини, що проходить через три точки,,:

. (3.2)

Підставимо в рівняння (3.2) координати точок ,,:

або .

Розкладаючи визначник за елементами першого рядка, отримаємо:

,

,

,

,

.

З рівняння площини запишемо координати її нормального вектора

.

Складемо рівняння ребра як рівняння прямої, що проходить через точкиі:

.

Отримаємо

або .

З цього рівняння маємо координати напрямного вектора ребра :,,.

Підставляючи знайдені координати нормального і напрямного векторів у формулу (3.1), дістанемо

,

.

2) Площу грані знайдемо за формулою

,

де координати векторів ізнайдемо, віднімаючи від координат кінця координати початку:,.

,

,

.

3) Об’єм піраміди обчислимо за формулою

,

де ,. Таким чином,

,

.

4) Рівняння висоти, яку проведено з вершини до грані, отримаємо за формулою

,

де ,,- координати напрямного вектора висоти.

Оскільки висота піраміди, яку проведено з вершини , паралельна нормальному вектору площини, то координати останнього можна прийняти за координати напрямного вектора висоти, тобто,,. Тоді рівняння висоти матиме вигляд

або .

Відповідь. 1) ; 2);

3) ; 4).

Завдання 4.

Скласти рівняння лінії, для якої відстані кожної точки від точки і від прямоївідносяться як.

Розв’язання. Нехай -довільна точка лінії, рівняння якої треба скласти. За умовою задачі , де,.

Отже, маємо рівняння

або .

Перетворимо його:

,

,

,

.

Для доданків з виділимо повний квадрат:

,

,

,

,

,

.

Отримали рівняння гіперболи з центром у точці і півосями,.

Відповідь. - рівняння гіперболи з центром у точціі півосями,.