Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ивано-Франковский национальный технический университет нефти и газа

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Функ_1

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

17.02.2016

Размер:

556.54 Кб

Скачать

☆

Диференціальне числення

функцій декількох змінних

Теоретичні питання

4.1.1. Поняття функції декількох змінних. Область визначення, границя і неперервність функції декількох змінних.

4.1.2. Частинні похідні функції декількох змінних, похідна в напрямі, градієнт.

4.1.3. Диференційованість і повний диференціал функції декількох змінних. Застосування повного диференціала до наближених обчислень.

4.1.4. Геометричний зміст повного диференціала. Дотична площина та нормаль до поверхні.

4.1.5. Похідні складеної функції декількох змінних. Повна похідна. Похідні функцій, заданих неявно.

4.1.6. Частинні похідні та повні диференціали вищих порядків. Незалежність результату від порядку диференціювання.

4.1.7. Формула Тейлора для функції декількох змінних.

4.1.8. Екстремум функції декількох змінних. Необхідні та достатні умови екстремуму. Найменше та найбільше значення функції декількох змінних в обмеженій замкненій області.

4.1.9. Умовний екстремум функції декількох змінних.

4.1.10. Метод найменших квадратів. Побудова емпіричної формули у випадку, коли шукана функція є лінійною.

Тестові теоретичні завдання

4.2.1. Функція зображається графічно:

а) деякою лінією в просторі ;

б) деякою лініює на площині;

в) деякою поверхнею в просторі ;

г) деякою областю на площині ; д) інша відповідь.

4.2.2. Вставити пропущений вираз. Означення границі функції: Число називається границею функції в точці , якщо _____________________, що для всіх точок таких, що виконується нерівність .

а) для будь-якого , для будь-якого ;

б) для будь-якого існує таке ;

в) існує таке , існує таке ;

г) існує таке , що для будь-якого ;

д) інша відповідь.

4.2.3. Точка є точкою розриву функції , якщо із умов:

Функція визначена в точці .
Існує .
.

порушується:

а) тільки 1; б) тільки 2; в) тільки 3;

г) хоча б одна; д) інша відповідь.

Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області , то вона там:

а) обмежена ; б) додатна ; в) необмежена;

г) постійна ; д) інша відповідь.

Яка з наведених нижче рівностей завжди виконується для функції при умові, що відповідні похідні неперервні.

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) інша відповідь.

Повний диференціал функції знаходиться за формулою:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) інша відповідь.

Яка з наступних формул використовується в наближених обчисленнях?

а) ;

б) ;

в) ;

г) ; д) інша відповідь.

Яке з рівнянь визначає дотичну площину до поверхні в точці ?

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) інша відповідь.

Яке з рівнянь визначає нормаль до поверхні в точці ?

а) ;

б) ;

в) ;

г) ; д) інша відповідь.

Яке з рівнянь визначає дотичну площину до поверхні, заданої рівнянням , в точці ?

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) інша відповідь.

4.2.11. Яке з рівнянь визначає нормаль до поверхні, заданої рівнянням в точці ?

а)

б)

в)

г) д) інша відповідь.

4.2.12. Якщо , де , то яка з рівностей є правильною:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) інша відповідь.

4.2.13. Якщо , де , то яка з рівностей є правильною:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) інша відповідь.

4.2.14. Якщо , де , то яка з рівностей є правильною:

а) ; б) ;

в) ;

г) ; д) інша відповідь.

4.2.15. Якщо , де , то яка з рівностей є правильною:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) інша відповідь.

4.2.16. Яка з формул є правильною, якщо неявна функція однієї змінної задана рівнянням :

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) інша відповідь.

4.2.17. Яка з формул є правильною, якщо неявна функція двох змінних задана рівнянням :

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) інша відповідь.

4.2.18. Яка з формул є правильною, якщо неявна функція двох змінних задана рівнянням :

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) інша відповідь.

4.2.19. Градієнтом функції називається:

а) скаляр ;

б) вектор ;

в) вектор ;

г) скаляр ; д) інша відповідь.

4.2.20. Градієнтом функції називається:

а) вектор;

б) скаляр ;

в) скаляр ;

г) вектор ; д) інша відповідь.

4.2.21. Похідна функції за напрямом вектора , який складає кути і з координатними осями знаходиться за формулою:

а) ; б) ;

в) ;

г) ; д) інша відповідь.

4.2.22. Похідна функції за напрямом вектора , який складає кути , і з координатними осями знаходиться за формулою:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ; д) інша відповідь.

4.2.23. Повний диференціал -го порядку функції знаходиться за формулою:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) інша відповідь.

4.2.24. Повний диференціал другого порядку функції знаходиться за формулою:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ; д) інша відповідь.

4.2.25. Повний диференціал третього порядку функції знаходиться за формулою:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) інша відповідь.

4.2.26. Функція має неперервні частинні похідні до четвертого порядку включно. Які з поданих нижче похідних співпадають?

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

а) 1 і 4, 2 і 5, 3 і 6 ; б) 1 і 5, 2 і 4, 3 і 6 ;

в) 1 і 6, 2 і 5, 3 і 4 ;

г) 1 і 3, 2 і 4, 5 і 6 ; д) інша відповідь.

4.2.27. Функція має неперервні частинні похідні до п’ятого порядку включно. Які з поданих нижче похідних співпадають?

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

а) 1 і 2, 3 і 4, 5 і 6; б)1 і 5, 2 і 6, 3 і 4;

в) 1 і 4, 2 і 5, 3 і 6;

г) 1 і 6, 2 і 4, 3 і 5; д) інша відповідь.

4.2.28. Стаціонарною точкою функції називається точка , в якій:

а) не існує, ;

б) , не існує ;

в) , не існують ;

г) , ; д) інша відповідь.

4.2.29. Нехай функція має в деякому околі точки неперервні частинні похідні першого і другого порядків, причому . Тоді функція має в точці екстремум, якщо:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) інша відповідь.

4.2.30. Нехай функція має в деякому околі точки неперервні частинні похідні першого і другого порядків, причому . Тоді функція має в точці максимум, якщо:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) інша відповідь.

4.2.31. Нехай функція має в деякому околі точки неперервні частинні похідні першого і другого порядків, причому . Тоді функція має в точці мінімум, якщо:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) інша відповідь.

4.2.32. Нехай функція має в деякому околі точки неперервні частинні похідні першого і другого порядків, причому . Тоді функція не має в точці екстремуму, якщо: