Vischa_Matematika

Використаємо класичне означення ймовірностей: P( A) mn , де m - число подій,

сприятливих появі заданої події, n - число всіх можливих подій.

Дана подія є протилежною до події, коли на всіх трьох кубиках будуть різна кількість очок: P( A) 1 56 64 63 94

8 Серед 20 ламп 5 бракованих. Знайти ймовірність того, що із чотирьох взятих навмання ламп всі будуть доброякісні. б) 0,282;

Використаємо класичне означення ймовірностей: P( A) mn , де m - число подій,

сприятливих появі заданої події, n - число всіх можливих подій. Використавши метод безпосереднього підрахунку ймовірностей, а також теореми множення і додавання ймовірностей, маємо:

P( A) 1520 1419 1813 1712 1611 0,243

9 Серед 20 ламп 5 бракованих. Навмання взято 4 лампи. Яка ймовірність того, що серед взятих буде хоча б одна бракована? д) інша відповідь.

Дана подія є протилежною до випаду, коли немає жодної бракованої лампи. Використаємо класичне означення ймовірностей: P( A) mn , де m - число подій,

сприятливих появі заданої події, n - число всіх можливих подій. Використавши метод безпосереднього підрахунку ймовірностей, а також теореми множення і додавання ймовірностей, маємо:

P( A) 1 1520 1419 1813 1712 1611 1 0,243 0,746

10 12 осіб шикуються в шеренгу довільним чином. Знайти ймовірність того, що дві певні особи будуть стояти поруч. а) 16 ;

11 Номер випадково взятого автомобіля чотирицифровий. Знайти ймовірність того, що номер не містить однакових цифр. в) 0,504;

Використаємо класичне означення ймовірностей: P( A) mn , де m - число подій,

сприятливих появі заданої події, n - число всіх можливих подій. Використавши метод безпосереднього підрахунку ймовірностей, а також теореми множення і додавання ймовірностей, маємо:

P( A) 109 89 78 76 0,504

51

12 Номер випадково взятого автомобіля чотирицифровий. Знайти ймовірність того, що номер містить дві однакові цифри. б) 0,432;

P( A) 10 101 101 109 109 0,432

13 В урні є 12 кульок, з них 8 червоних і 4 чорних. Навмання вибирають 6 кульок. Яка ймовірність того, що вибрано дві чорних кульки? г) 115 ;

14 В урні є 12 кульок, з них 8 червоних і 4 чорних. Навмання вибирають 6 кульок. Яка ймовірність того, що вибрано хоча б одну чорну кульку?г) 3233 ;

Дана подія є протилежною до події, коли обидві вибраних кульки червоні.

15 В урні є 15 червоних, 9 синіх та 6 зелених кульок. Навмання вибирають 6 кульок. Знайти ймовірність того, що буде вийнято 1 зелену, 2 синіх і 3

червоних кульки? в) 14524 ;

Використаємо класичне означення ймовірностей: P( A) mn , де m - число подій, сприятливих появі заданої події, n - число всіх можливих подій.

16 Числа 1,2,3,…,9 записуються в ряд у випадковому порядку. Знайти ймовірність того, що числа 1 і 2 стоять поруч і в порядку зростання. б) 19 ;

Використаємо класичне означення ймовірностей: P( A) mn , де m - число подій, сприятливих появі заданої події, n - число всіх можливих подій.

7! 2!

52

Використаємо класичне означення ймовірностей: P( A) mn , де m - число подій, сприятливих появі заданої події, n - число всіх можливих подій.

23 У квадрат з вершинами А(0;0), В(1;0), С(1;1), Д(0;1) навмання кинуто точку М(p;q). Знайти ймовірність того, що корені рівняння x2 px q 0

будуть дійсними. в) 121 ;

24 На відрізку [-1;2] навмання взято два числа. Яка ймовірність того, що їх сума більша за 1, а добуток менший за 1? б) 0,321;

Це відбудеться, якщо обидва числа із проміжку [0,5;1] або одне число з проміжку (0;0,5], а друге з проміжку [1;2], тобто:

P( A) 03,5 2 03,5 13 0,321

Знайти ймовірність того, що це число буде не менше від 0,25 і не більше від

0,75. в) 0,5;

27 На відрізку [-1;1] навмання беруть два числа. Знайти ймовірність того,

28 Між нулем і одиницею навмання вибирають два числа. Знайти ймовірність того, що сума цих чисел буде не більша за 1, а модуль їх різниці

не менший від ½. б) 18 ;

Використаємо геометричне означення ймовірностей. P( A) 12 12 12 18

29 На відрізок довжиною l навмання кинуто дві точки. Знайти ймовірність того, що віддаль між цими точками буде не менша від l2 . д) інша відповідь.

Використаємо геометричне означення ймовірності. P( A) 1 3 l /l 2 l /l 2 1 34 14

54

30 На відрізок довжиною l навмання вибирають дві точки. Знайти ймовірність того, що віддаль між цими точками буде не більша від l2 . в) 34 ;

Використаємо геометричне означення ймовірності. P( A) 3 l /l 2 l /l 2 34

31 Диспетчер обслуговує три лінії. Ймовірність того, що протягом години звернуться по першій лінії, становить 0,3, по другій – 0,4, по третій – 0,6. Яка ймовірність того, що протягом години диспетчер отримає виклики з

Використавши метод безпосереднього підрахунку ймовірностей, а також теореми множення і додавання ймовірностей, маємо:

P(A) 0,3 0,4 (1 0,6) (1 0,3) 0,4 0,6 0,3 (1 0,4) 0,324

32 Ймовірність вчасного повернення кредиту для першої фірми складає 0,9 другої – 0,88. Яка ймовірність, що вчасно поверне кредит тільки одна фірма? в) 0,196;

Використавши метод безпосереднього підрахунку ймовірностей, а також теореми множення і додавання ймовірностей, маємо:

P(A) 0,9 (1 0,88) (1 0,9) 0,88 0,196

33 Кондуктор автобуса зберігає купюри різної вартості у двох кишенях: в одній 7 купюр по 2 грн. та 3 купюри по 5 грн., в іншій – відповідно 12 та 8 купюр. З кожної кишені кондуктор навмання дістає одну купюру. Яка ймовірність того, що обидві купюри однієї вартості?г) 0,54;

Використавши метод безпосереднього підрахунку ймовірностей, а також теореми множення і додавання ймовірностей,маємо:

34 Три аварійні пристрої працюють незалежно і сповіщають про аварію з ймовірностями 0,8; 0,9; 0,75. Яка ймовірність того, що при аварії спрацює хоча б один пристрій?д) інша відповідь.

Дана подія є протилежною до тієї, коли жоден пристрій не спрацює. Використавши метод безпосереднього підрахунку ймовірностей, а також теореми множення і додавання ймовірностей, маємо:

P(A) 1 (1 0,8) (1 0,9)(1 0.75) 1 0,05 0.95

35 Ймовірність одержання студентом оцінки “відмінно” на іспиті дорівнює 0,2. яка ймовірність того, що оцінку “відмінно” одержить не більше як один студент із трьох? а) 0,896;

Використавши метод безпосереднього підрахунку ймовірностей, а також теореми множення і додавання ймовірностей, маємо:

P(A) C31 0,2 0,82 C30 0,20 0,83 0,896

36 В ящику 10 білих та 5 чорних куль. Навмання виймають дві кулі. Яка ймовірність того, що чорних куль буде не більше одної? г) 1921 ;

55

Використаємо класичне означення ймовірностей: P( A) mn , де m - число

подій, сприятливих появі заданої події, n - число всіх можливих подій. Для даного випадку прийнятні варіанти, коли цих куль буде 0 або 1. Використавши метод безпосереднього підрахунку ймовірностей, а також теореми множення і додавання ймовірностей, маємо:

37 Студент вивчив 20 із 25 питань програми. Яка ймовірність того, що він складе екзамен, якщо для цього потрібно відповісти не менше ніж на два із трьох заданих екзаменатором запитань? б) 0,909;

Тобто, він має відповісти на 2 або на 3 питання. Використаємо класичне означення ймовірностей: P( A) mn , де m - число подій, сприятливих появі заданої

події, n - число всіх можливих подій. Використавши метод безпосереднього підрахунку ймовірностей, а також теореми множення і додавання ймовірностей,

маємо: P( A) 2025 1924 1823 3 255 2024 1923 0,909

38 В електричному колі послідовно з’єднані чотири елементи. Ймовірність виходу з ладу кожного з цих елементів однакова і дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що струму в колі не буде, тобто вийде з ладу хоча б один елемент.в) 0,5904;

Дана подія є протилежна тій, коли прилад буде працювати. Використавши метод безпосереднього підрахунку ймовірностей, а також теореми множення і додавання ймовірностей, маємо: P( A) 1 (1 0,8)4 0,5904

39 Ймовірність невлучання у мішень першого стрільця дорівнює 0,2, другого – 0,1 і третього – 0,3. Знайти ймовірність влучення в мішень хоча б

Дана подія є протилежна тій, коли ніхто не влучить. Використавши метод безпосереднього підрахунку ймовірностей, а також теореми множення і додавання ймовірностей, маємо: P(A) 1 0,2 0,1 0,3 0,994

40 Ймовірність того, що під час трьох незалежних випробувань деяка подія настане принаймні один раз, дорівнює 0,875. Знайти ймовірність настання цієї події під час одного випробування, якщо вона під час усіх випробувань однакова.г) 0,5

Використавши метод безпосереднього підрахунку ймовірностей, а також теореми множення і додавання ймовірностей, маємо: P( A) 1 p13 0,875 , звідки р1=0,5, де р1ймовірність настання цієї події під час одного випробування

41 Тираж популярної газети друкується в двох типографіях. Потужності цих типографій відносяться як 3:4, причому перша дає 3,5% браку, друга – 2,5%. Яка ймовірність того, що навмання обраний примірник газети буде бракованим? а) 0,0293;

56

заборгованостей, Яка ймовірність того, що навмання обране підприємство не має заборгованості? д) інша відповідь.

виготовляються двома цехами. Перший цех виробляє 35% продукції, серед яких 40% наборів синього кольору. У продукції другого цеху 55% синіх наборів. Яка ймовірність того, що навмання вибраний набір синього

47 До каси підприємства надійшли банкноти у пачках від двох банків: 50 пачок від першого і 70 – від другого. Ймовірність помилки касирів першого банку становить 0,0015, другого – 0,002. Яка ймовірність того що навмання вибрану пачку сформовано без помилок? б) 0,9982;

58

Використаємо формулу повної ймовірності.

- Пачка сформована без помилок від першого банку:

P(A/ H1) 1 0,0015 0,9985

- Пачка сформована без помилок від другого банку:

P(A/ H21) 1 0,002 0,998

P(A) 50/120 0,9985 70/120 0,998 0,9982

48 Два верстати виготовляють деталі, які поступають на конвеєр. З першого верстата надійшло 400 деталей, а з другого на 50% більше. Перший верстат дає 2% браку, другий – 3%. Знайти ймовірність того, що навмання взята деталь з конвеєра є бракованою. в) 0,026;

49 В першому ящику 5 білих і 10 чорних кульок, в другому – 3 білих і 7 чорних кульок. З другого ящика в перший переклали кульку, а потім з першого ящика витягли навмання одну кульку. Визначити ймовірність того, що витягнута кулька – біла.г) 0,33;

50 Два заводи виготовляють однакові реактиви, причому 8% пачок реактивів першого і 6% реактивів другого заводу мають більшу від допустимої кількість домішок. На складі є 200 пачок реактивів виготовлених першим заводом і 300 пачок виготовлених другим заводом. Яка ймовірність того, що навмання вибрана пачка реактивів містить

відмінники становлять1/3частину учнів класу. З цих класів навмання вибрано один клас і з нього навмання викликано учня, який виявився відмінником.Знайти ймовірність того, що цей учень з першого класу.а)0,60;

2% виробів браковані, а в другій – 5%. Деталі поступають на спільний конвеєр. Навмання взятий з конвеєра виріб виявився не бракованим. Яка ймовірність, що він виготовлений першою бригадою? б) 0,41;

- Небракований виріб виготовлено першою бригадою:

P(A/ H1 ) 1 0,02 0,98

- Небракований виріб виготовлено другою бригадою:

P(A / H2 ) 1 0,05 0,95

53 У рекламному агентстві працює дві групи дизайнерів: перша обслуговує 25 фірм, друга – 45, . Протягом одного місяця кошти, витрачені на рекламу дизайнерами першої групи, повертаються до 40% фірм, другої – до 45%. Навмання вибрана фірма окупила витрачені на рекламу кошти протягом місяця? Яка ймовірність того, що фірма обслуговувалась другою групою дизайнерів? в) 0,67;

Використаємо формулу Байєса: Розглянемо повну групу подій:

60