Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ивано-Франковский национальный технический университет нефти и газа

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Vischa_Matematika

.pdf

Скачиваний:

2174

Добавлен:

17.02.2016

Размер:

9.07 Mб

Скачать

☆

1 / 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

ВИЩА МАТЕМАТИКА розділ 8

рівень B

Вказати загальний розв’язок рівняння

( f , - довільні функції).

а) u x , y xf y y ;

f y

u x , y xf y y

Вказати загальний розв’язок рівняння

( f ,

- довільні функції).

x y

в)

u x , y f x y ;

f x

u x , y f x y

x y

Вказати загальний розв’язок рівняння

( f , - довільні функції).

б) u x, y yf x x ;

f x

u x, y yf x x

Вказати загальний розв’язок рівняння

( f , - довільні функції).

г)

u x, y

xf y

y ;

x f ( y)

u x, y

xf y y

Вказати загальний розв’язок рівняння

( f ,

- довільні функції).

x y

б) u x, y xy f x y

;

u x, y xy f x y

x y

Вказати загальний розв’язок рівняння

( f ,

- довільні функції).

в)

u x, y

yf x x ;

u x,

y y2

yf x y ;

д) інша відповідь.

2u 1

y f (x)

u x, y

y2 yf x x

Вказати загальний розв’язок рівняння

( f ,

- довільні функції).

а)

u x, y x3 xf y y ;

3x2 f ( y)

u x, y x3 xf y y

Вказати загальний розв’язок рівняння

6 y

( f ,

- довільні функції).

г)

u x, y y3 yf x x ;

2u 6 y

2 y 2 f (x)

u x, y y3 yf x x

Вказати загальний розв’язок рівняння

4xy

( f , - довільні функції).

x y

б)

u x, y x2 y2 f x y ;

4xy

2xy 2

u x, y x2 y2 f x y

x y

10Вказати загальний розв’язок рівняння

x y

( f , - довільні функції).

x y

в)

u x, y

xy x y f x y ;

x y

y 2

x2 y

y 2

x f x y

x y

u x , y

xy x y f x y

Рівняння вільних коливань струни має вид:

б)

;

Якщо щільність

стала, x , то рівняння коливань струни приймає

; a2

вигляд:

де f

- сталі.

Рівняння теплопровідності в стержні має вид:

г)

;

Рівняння теплоповідності — рівняння, що визначає закон зміни температури з часом при теплопередачі через теплопровідність.

де c — питома теплоємність, q — тепловий потік, S — джерело тепла.

У випадку, коли тепловий потік пропорційний градієнту температури

(закон Фур'є) ,

закон теплопровідності набирає форми:

Це неоднорідне диференційне рівняння в часткових похідних параболічного типу, схоже на рівняння дифузії.

Здебільшого при розв'язуванні рівняння теплопровідності вважають, що теплоємність і коефіцієнт теплопровідності не залежать від температури. В

такому випадку рівняння теплопровідності стає лінійним.

13 Рівняння Лапласа має вид:	в)	2u	2u	0	;
		x2	y2

Рівняння Лапласа — однорідне лінійне рівняння в часткових похідних другого

порядку еліптичного типу.

Функції, які задовільняють рівнянню Лапласа, називаються гармонічними.

14 Розв’язок задачі про вільні коливання струни, закріпленої на кінцях

2u	a	2	2u	, u 0, t u l , t 0,	u x , 0 f x ,	ut x , 0 0 має вид:
t 2			x2
t 2			x2

		an				n
а) u x, t An cos		an		t sin		n	x ,
а) u x, t An cos				t sin		l	x ,
n 1			l			l
n 1
Рівняння виду
2u	a2		2u		F (x;t)
t2	a2		x2		F (x;t)
t2			x2

с крайовими умовами

u(0;t) u(l;t) 0

і початковими умовами

u(x;0) (x)

	du		(x)

	dt
			t 0
			t 0

A	2 l		f x sin	n	x dx ;
A	l		f x sin	l	x dx ;
n	l			l
n
		0

(1)

(2)

(3)

(4)

описує закон коливань однорідної тонкої нерозтяжної струни довжини l, закріпленої на кінцях у точках х=0 і х=l (умови (2)), з початковою формою (х) (умова (3)) і початковою швидкістю (х) (умова (4)), у поле дії зовнішньої сили (наприклад, сили ваги, у магнітному полі й т.п.). Постійний параметр a2 залежить від властивостей струни, функція F(x;t) - від зовнішньої сили. Якщо F(x;t)=0 – це значить, що зовнішньої сили немає (або їй можна зневажити) і коливання називаються вільними.

Відзначимо, що коливання розглядаються малі (відхилення u крапок струни від положення рівноваги – осі Ох – мало), плоскі (коливання відбуваються тільки в площині хOu), поперечні (кожна крапка струни рухається строго перпендикулярно положенню рівноваги).

Рівняння вільних коливань струни, закріпленої на кінцях:

				u(x,0) (x),
2u		2u			u

	a2					(x),
			,
t2		x2	,		t
						t 0
						t 0
				u(0,t) u(l,t) 0

має рішення виду

	na t Bn sin	na t)sin	nx
u(x;t) ( An cos	na t Bn sin	na t)sin	nx	,
n 1	l	l	l
n 1

де коефіцієнти Аn і Вn знаходять із початкових умов:

				du			na

Тобто, оскільки		x , 0 0	, то					Bn sin


	ut			dt			l
					t 0	n 1
					t 0	n 1

nx (x) =0, тому складова l

Bn=0/

u x, t An cos

t sin

x ,

f x sin

x dx

n 1

15 Розв’язок задачі про вільні коливання струни, закріпленої на кінцях

u 0, t u l , t 0 ,

u x , 0 0 ,

x , 0 x має вид:

t 2

б) u x, t Bn sin

x sin

x dx ;

sin

x ,

n 1

Рівняння виду

F (x;t)

(1)

с крайовими умовами

u(0;t) u(l;t) 0

(2)

і початковими умовами

u(x;0) (x)

(3)

(x)

(4)

t 0

описує закон коливань однорідної тонкої нерозтяжної струни довжини l, закріпленої на кінцях у крапках х=0 і х=l (умови (2)), з початковою формою(х) (умова (3)) і початковою швидкістю (х) (умова (4)), у поле дії зовнішньої сили (наприклад, сили ваги, у магнітному полі й т.п.). Постійний параметр a2 залежить від властивостей струни, функція F(x;t) - від зовнішньої сили. Якщо F(x;t)=0 – це значить, що зовнішньої сили немає (або їй можна зневажити) і коливання називаються вільними.

Відзначимо, що коливання розглядаються малі (відхилення u крапок струни від положення рівноваги – осі Ох – мало), плоскі (коливання відбуваються

тільки в площині хOu), поперечні (кожна крапка струни рухається строго перпендикулярно положенню рівноваги).

Рівняння вільних коливань струни, закріпленої на кінцях:

				u(x,0) (x),
2u		2u			u

	a2					(x),
			,
t2		x2	,		t
						t 0
						t 0
				u(0,t) u(l,t) 0

має рішення виду

	na t Bn sin	na t)sin	nx
u(x;t) ( An cos	na t Bn sin	na t)sin	nx	,
n 1	l	l	l
n 1

де коефіцієнти Аn і Вn знаходять із початкових умов:

підставляючи t=0 одержуємо

	nx
u(x;0) An sin	nx	(x) =0 pf evjdj.
n 1	l
n 1

тобто Аn – коефіцієнти Фур'є для функції (х) при розкладанні на інтервалі (0; l) по синусах кратних дуг.

Далі, диференціюючи u(х;t) по t і підставляючи t=0 одержуємо:

					nx

		du		na Bn sin		(x) ,
				na Bn sin		(x) ,
		dt	t 0	n 1 l	l
		dt	t 0	n 1 l	l
тобто	na B – коефіцієнти Фур'є для функції (х) при розкладанні на інтервалі
	l		n
	l
(0; l) по синусах кратних дуг.
Отже, складова An=0, тому розв’язок має вид: 2u							a2 2u	,	u 0, t u l , t 0 ,
						t 2	x2

16	Розв’язок задачі про вільні коливання струни, закріпленої на кінцях
2u	a	2	2u	, u 0, t u l , t 0 ,	u x , 0 f x ,	ut x , 0 x має вид:
t 2			x2
t 2			x2

	an		an
в) u x, t An cos		t Bn sin
в) u x, t An cos	l	t Bn sin	l
n 1	l		l

Рівняння виду

2 l

t sin

x ,

f x sin

x dx , Bn

x sin

x dx ;

2u	a2	2u	F (x;t)	(1)
t2		x2

с крайовими умовами

u(0;t) u(l;t) 0

(2)

і початковими умовами

u(x;0) (x)		(3)
du	(x)	(4)


dt
	t 0

Рівняння вільних коливань струни, закріпленої на кінцях:

				u(x,0) (x),
2u		2u			u

	a2					(x),
			,
t2		x2	,		t
						t 0
						t 0
				u(0,t) u(l,t) 0

має рішення виду

	na t Bn sin	na t)sin	nx
u(x;t) ( An cos	na t Bn sin	na t)sin	nx	,
n 1	l	l	l
n 1

де коефіцієнти Аn і Вn знаходять із початкових умов: підставляючи t=0

		nx
одержуємо	u(x;0) An sin	nx	(x) ,
	n 1	l
	n 1

тобто Аn – коефіцієнти Фур'є для функції (х) при розкладанні на інтервалі (0; l) по синусах кратних дуг.

Далі, диференціюючи u(х;t) по t і підставляючи t=0 одержуємо:

						nx

		du			na Bn sin		(x) ,
					na Bn sin		(x) ,
		dt	t 0		n 1 l	l
		dt	t 0		n 1 l	l
тобто	na B			– коефіцієнти Фур'є для функції (х) при розкладанні на інтервалі
	l		n
	l

(0; l) по синусах кратних дуг.

	an		an
u x, t An cos		t Bn sin
u x, t An cos	l	t Bn sin	l
n 1	l		l
6

2 l

t sin

x ,

f x sin

x dx , Bn

x sin

x dx ;

17 Розв’язок задачі про вільні коливання нескінченної струни

f x at f x at

1 x at

, u x , 0

має вид:

г) u x, t

y dy ;

t 2

f x , ut x , 0 x

2a x at

Рівняння вільних коливань нескінченної струни:

u(x,0) (x),

(x)

t 0

(без крайових умов)

вирішують за допомогою формули Даламбера:

(x at) (x at)

x at

u(x;t)

(x)dx

x at

Розв’язок задачі теплопровідності в стержні

2u ,

u 0, t u l, t 0 ,

u x, 0

f x має вид:

a 2 n 2 2

б) u x, t Ane

l 2

sin

x ,

f x sin

x dx ;

l 0

n 1

Рівняння виду

a2 2u

F (x;t)

с крайовими умовами

u(0;t) u(l;t) 0

і початковою умовою

u(x;0) (x)

описує закон розподілу температури в однорідному стрижні довжини l, на кінцях якого підтримується нульова температура. Функція F(x;t) характеризує існуючі усередині стрижня крапки (джерела) виділення або поглинання тепла. Якщо такі відсутні, F(x;t)=0 і рівняння називається однорідним.

19 Рівняння Лапласа в полярних координатах має вид:

в) r2 2u r u 2u 0 ;r2 r 2

Рівняння Лапласа - диференціальне рівняння в частинних похідних. У

тривимірному просторі рівняння Лапласа записується так:

і є окремим випадком рівняння Гельмгольца.

Усферичних координатах рівняння має вигляд

Уполярних координатах r, φ рівняння має вигляд

Розв’язок задачі Діріхле для круга 2u 2u 0 ,

r R

f має вид:

б)

u r ,

An cos n Bn sin n r

f t cos nt dt ,

f t sin nt dt ;

n 1

Нехай в площині 0ху є коло радіусом R з центром на початку координат і на його окружності задана деяка функція f( ), де - полярний кут. Потрібно знайти функцію u(r, ), непреривну в колі, включаючи границю, задовільняючу всередині кола рівнянню Лапласа

2U 2U 0 .x2 x2

і на колі що приймає задані значення U r R f ( ) .

	1				R	2	r	2
U (r,)	1	f (t)			R		r			dt .
U (r,)	2	f (t)	R	2	2rRcos(t ) r				2	dt .
	2		R		2rRcos(t ) r

Формула називається інтегралом Пуассона. Шляхом аналізу цієї формули доводиться, що якщо формула f( ) неперервна, то функція U(r, ), визначена інтегралом задовільняє рівність (1 ) і при r R буде U(r, ) f( ), тобто U(r, )

являє собою рішення поставленої задачі Діріхле для кола.

рівtym C

1 Вказати тип рівняння	2u	2	2u	3	2u	u	0 .	б) гіперболічний;
	x2		x y		y2	y

Запишемо таке рівняння щодо функції двох змінних у загальному виді:

a(x, y)	2u	2b(x, y)	2u	c(x, y)	2u	g(u, x, y,	u	,	u ) 0 .
	x2		x y		y2		x
									y

Ці рівняння часто зустрічаються в математичних моделях фізичних процесів і теорія їхнього рішення найбільше добре розроблена.

Дискримінантом даного рівняння називається функція D(x, y) b2 ac .

Говорять, що дане рівняння належить

-до еліптичного типу в області, де D<0

-до гіперболічного типу в області, де D>0

-до параболічного типу в області, де D=0.-

D 12 1 3 2 0 - гіперболічний тип

2 Вказати тип рівняння	2u	6	2u	10	2u	u	3	u	0 .
	x2		x y		y2	x		y

а) еліптичний; А .

Запишемо таке рівняння щодо функції двох змінних у загальному виді:

a(x, y)	2u	2b(x, y)	2u	c(x, y)	2u	g(u, x, y,	u	,	u ) 0 .
	x2		x y		y2		x
									y

Дискримінантом даного рівняння називається функція D(x, y) b2 ac .

Говорять, що дане рівняння належить

-до еліптичного типу в області, де D<0

-до гіперболічного типу в області, де D>0

-до параболічного типу в області, де D=0.-

D 32 1 10 1 0 - еліптичний тип

3 Вказати тип рівняння 4	2u	4	2u	2u	2	u	0 .
	x2		x y	y2		y

в) параболічний;

Запишемо таке рівняння щодо функції двох змінних у загальному виді:

a(x, y)	2u	2b(x, y)	2u	c(x, y)	2u	g(u, x, y,	u	,	u ) 0 .
	x2		x y		y2		x
									y

Дискримінантом даного рівняння називається функція D(x, y) b2 ac .

Говорять, що дане рівняння належить

- до еліптичного типу в області, де D<0

-до гіперболічного типу в області, де D>0

-до параболічного типу в області, де D=0.-

D 22 4 1 0 - параболічний тип

4 Вказати тип рівняння	2u	2	2u	4	2u	u	0 .	б) гіперболічний;
	x2		x y		y2	x

Запишемо таке рівняння щодо функції двох змінних у загальному виді:

a(x, y)	2u	2b(x, y)	2u	c(x, y)	2u	g(u, x, y,	u	,	u ) 0 .
	x2		x y		y2		x
									y

Дискримінантом даного рівняння називається функція D(x, y) b2 ac .

Говорять, що дане рівняння належить

-до еліптичного типу в області, де D<0

-до гіперболічного типу в області, де D>0

-до параболічного типу в області, де D=0.-

D 12 1 4 3 0 - гіперболічний тип

5 Вказати тип рівняння	2u	2	u	3	u	0 .	б) гіперболічний;
	x y		x		y

Запишемо таке рівняння щодо функції двох змінних у загальному виді:

a(x, y)	2u	2b(x, y)	2u	c(x, y)	2u	g(u, x, y,	u	,	u ) 0 .
	x2		x y		y2		x
									y

Дискримінантом даного рівняння називається функція D(x, y) b2 ac .

Говорять, що дане рівняння належить

-до еліптичного типу в області, де D<0

-до гіперболічного типу в області, де D>0

-до параболічного типу в області, де D=0.-

D 12 0 1 0 - гіперболічний тип

6 Вказати тип рівняння

0 .

в) параболічний;

x y

1 / 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025130.73 Кб0Vidpovidi_z_k_d.docx
#
01.05.2025208.9 Кб1Vidpovidi_z_OP.doc
#
01.05.202532.43 Кб1Vidpovidi_z_ZPMM.docx
#
11.11.2018292.88 Кб8Vidpovid_do_kolokviuma_z_gp1.docx
#
01.07.20251.24 Mб0Vischa_geodeziya (2).doc
#
17.02.20169.07 Mб2174Vischa_Matematika.pdf
#
01.07.20254.52 Mб0Vivchennya_protsesu_montazhu_burovikh_vishok_sc...doc
#
01.07.2025239.62 Кб0Vizachiti_zalishok_na_rakhunku_1 (1).doc
#
01.05.2025104.43 Кб0vlasnist.docx
#
01.05.202554.78 Кб0Vologist_N.doc
#
01.05.2025222.97 Кб0Voyenka_moya_gotova (Восстановлен).docx