ВЫЧ.МАТ. Лекции и задания / ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ12

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Если функция непрерывна на отрезке и известна ее первообразная , то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

,

где . Однако, во многих случаях первообразная функция не может быть найдена с помощью элементарных средств.

Данную функцию на рассмотренном отрезке заменяют интерполирующей или аппроксимирующей функцией простого вида (например, полином), а затем приближенно полагают

.

Функция должна быть такова, чтобы вычислялся непосредственно. Если функция задана аналитически, то ставится вопрос об оценке погрешности формулы (2). Рассмотрим применение в качестве интерполяционного полинома Лагранжа.

, (1)

где - ошибка квадратурной формулы (1) или остаточный член

Выбрав шаг разобьем отрезок с помощью равноотстоящих точек , , на n равных частей, и пусть . Заменяя функцию y соответствующим интерполирующим полиномом Лагранжа

,

получим приближенную квадратурную формулу:

, (2)

- некоторые постоянные коэффициенты. Найдём явные выражения для коэффициентов формулы (2).

(3)

Коэффициенты полинома Лагранжа имеют вид:

, (4)

где , причем .

Введя обозначения : и будем иметь

,

или,

т.к. , , , то, сделав замену переменных в определенном интеграле, будем иметь:

.

Т.к. , то обычно полагают , где - постоянные, называемые коэффициентами Котеса.

Квадратурная формула (2) принимает вид:

(5)

:

Такие формулы называются квадратурными формулами Ньютона-Котеса

Справедливы соотношения: 1. ; 2. .

Формула трапеций и ее остаточный член

При n=1 получим

, :

отсюда (7)

Мы получили формулу трапеций Для вычисления интеграла разделим промежуток интегрирования на n равных частей и к каждому из них применим формулу трапеций (7). Полагая и обозначая через значения подынтегральной функции в точках x_i будем иметь: , или

. (8)

Геометрически формула (1) получается в результате замены графика подынтегральной функции ломаной линией.

Если подынтегральная функция дважды дифференцируема, то остаточный член квадратурной формулы (7) равен:

где . (9)

Рассмотрим среднее арифметическое значение второй производной на отрезке по всем промежуткам

.

Очевидно,  заключается между наименьшим m₂ и наибольшим M₂ значениями второй производной на отрезке , т.е. .

В силу непрерывности на отрезке , она принимает все значения от m₂ до M₂. Значит существует точка ξ, такая что μ=f''(ξ). Из формулы (9) получим

(10)

Пример выполнения в Маткаде Вычислить интеграл

по методу трапеций с тремя десятичными знаками. В Маткаде числа могут быть вычислены с 17 десятичными знаками, поэтому не будем учитывать погрешности вычислений и тогда погрешность метода ε=0,0005 Для достижения заданной точностирешим неравенство

Ф ормула Симпсона и ее остаточный член

при n=2

.

.

.

Остаточный член: .

Общая формула Симпсона и ее остаточный член

Пусть n=2m есть четное число и - значения функции для равноотстоящих точек с шагом . Применяя формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку длины 2h, будем иметь . Следовательно, . Отсюда получаем общую формулу Симпсона:

.

Введя обозначения , формулу можно записать в более простом виде:

.

Если функция непрерывно дифференцируема до четвертого порядка, то ошибка формулы Симпсона на каждом удвоенном промежутке дается формулой:

, где .

Суммируя все эти ошибки, получим остаточный член общей формулы Симпсона в виде:

.

непрерывна на отрезке , поэтому найдется точка такая, что . Следовательно (1),

где .

Если задана предельная допустимая погрешность , то, обозначив , будем иметь для определения шага h неравенство:

,

отсюда , т.е. h имеет порядок . Говорят, что степень точности метода Симпсона равна четырем

Во многих случаях оценка погрешности квадратурной формулы весьма затруднительна. Тогда обычно применяют двойной пересчет с шагами h и 2h и считают, что совпадающие десятичные знаки принадлежат точному значению интеграла.

Предполагая, что на отрезке производная меняется медленно, в силу формулы (1) получаем приближенное выражение для искомой ошибки , где коэффициент M будем считать постоянным. Пусть и - приближенные значения интеграла , полученные по формуле Симпсона соответственно с шагом h и H=2h. Имеем: и . Отсюда

.

За приближенное значение интеграла целесообразно принять исправленное значение

.

Пример выполнения в Маткаде Вычислить интеграл методом Симпсона для n=8. Оценить остаточный член.

Формулы Ньютона-Котеса высших порядков:

Производя соответствующие вычисления при n=3, получим из квадратурную формулу Ньютона:

(правило ).

Остаточный член формулы равен , где , т.е. при одинаковом шаге формула Ньютона, вообще говоря, менее точна, чем формула Симпсона.

Квадратурная формула Чебышева

Рассмотрим квадратурную формулу

, (1)

где - постоянные коэффициенты. Чебышев предположил выбрать абсциссы таким образом, чтобы:

1. коэффициенты были равны между собой;

2. квадратурная формула (1) является точной для всех полиномов до степени n включительно.

Покажем, как могут быть найдены в этом случае величины и , полагая и учитывая, что при будем иметь , отсюда получаем . Следовательно, квадратурная формула Чебышева имеет вид:

. (2)

Для определения абсцисс заметим, что формула (2) согласно условию2 должна быть точной для функции вида . Подставляя эти функции в формулу (2), получим систему уравнений:

, (3)

из которой могут быть определены неизвестные . Заметим, что система (3) при n=8 и n10 не имеет действительных решений.

Формула Чебышева с тремя ординатами (n=3)

Для определения абсцисс имеем систему уравнений:

(1)

Рассмотрим симметрические функции корней:

Из системы (1) имеем:

Отсюда заключаем, что есть корни вспомогательного уравнения или . Следовательно, можно принять: .

Таким образом, соответствующая формула Чебышева имеет вид .

Чтобы применить квадратурную формулу Чебышева к интегралу вида , следует преобразовать его с помощью подстановки:

,

переводящей отрезок в отрезок . Применяя к преобразованному интегралу формулу Чебышева, будем иметь

,

где и - корни системы.

В таблице приведены значения корней t_i системы (3) для n=1,2…,7

Значения абсцисс t_i в формуле Чебышева

n	i	ti
2	2;1	±0.577350
3	3;1 2	±0.707107 0
4	4;1 3;2	±0.794654 ±0.187592
5	5;1 4;2 3	±0.832498 ±0.374541 0
6	6;1 5;2 4;3	±0.866247 ±0.422519 ±0.266635
7	7;1 6;2 5;3 4	±0.883862 ±0.529657 ±0.323912 0

Пример выполнения в Маткаде Вычислить интеграл по формуле Чебышева для четырех и для пяти точек

Квадратурная формула Гаусса

Полиномы вида называются полиномами Лежандра.

Свойства этих полиномов:

1. , ;

2. , где - любой полином степени k, меньшей n;

3. полином Лежандра имеет n различных и действительных корней, которые расположены на интервале .

Первые пять полиномов Лежандра:

Рассмотрим функцию , заданную на стандартном промежутке . Нужно подобрать точки и коэффициенты , чтобы квадратурная формула

(1)

была точной для всех полиномов возможной наивысшей степени N. Т.к. в нашем распоряжении имеется 2n постоянных и , а полином степени 2n-1 определяется 2n коэффициентами, то эта наивысшая степень в общем случае равна N=2n-1.

Для обеспечения равенства (1) необходимо и достаточно, чтобы оно было верным при . Действительно, полагая и , будем иметь .

Таким образом, учитывая соотношения , заключаем, что для решения поставленной задачи достаточно определить постоянные и из системы 2n уравнений:

(3)

Система (3) нелинейная, и ее решение обычным путем представляет большие трудности.

Рассмотрим полиномы , где - полином Лежандра. Т.к. степени этих полиномов не превышают 2n-1, то на основании системы (3) для них должны быть справедлива формула (1) и .

С другой стороны, в силу свойства ортогональности полиномов Лежандра выполнены неравенства:

при ,

поэтому

(4).

Равенства (4) будут обеспечены при любых значениях , если положить , т.е. для достижения наивысшей точности квадратурной формулы (1) в качестве точек достаточно взять нули соответствующего полинома Лежандра. Как известно, из свойства (3), эти нули действительны, различны и расположены на интервале . Зная абсциссы , легко можно найти из линейной системы первых n уравнений определитель этой подсистемы есть определитель Вандермонда: и, следовательно, определяются однозначно.

Формула (1), где - нули полинома Лежандра и определяются из системы (3), называется квадратурной формулой Гаусса.

Рассмотрим теперь использование квадратурной формулы Гаусса для вычисления общего интеграла . Делая замену переменной , получим . Применяя к последнему интегралу, квадратурную формулу Гаусса получим:

, (5)

где , - нули полинома Лежандра , т.е. .

Остаточный член формулы Гаусса (5) с n узлами выражается следующим образом:

.

Отсюда получаем:

,

,

,

,

.

Квадратурная формула Гаусса для случая трех ординат

Полином Лежандра третьей степени есть . Приравнивая этот полином нулю, находим: , , .

Для определения коэффициентов в силу системы (3) имеем:

Отсюда: , .

Следовательно, .

Элементы формулы Гаусса

n	t	ti	Ai
1	1	0	2
2	1;2	±0.57735027	1
3	1;3 2	±0.77459667 0	0.55555556 0.88888889
4	4;1 3;2	±0.86113631 ±0.33998104	0.34785484 0.65214516
5	5;1 4;2 3	±0.90617985 ±0.53846931 0	0.23692688 0.47862868 0.56888889
6	6;1 5;2 4;3	±0.93246951 ±0.66120939 ±0.23861919	0.17132450 0.36076158 0.46791394
7	7;1 6;2 5;3 4	±0.94910791 ±0.74153119 ±0.40584515 0	0.12948496 0.27970540 0.38183006 0.41795918

Пример выполнения в Маткаде Вычислить интеграл по формуле Гаусса для четырех и для пяти точек.

45