2. Рис.1.

3. Из графика видно, что .

4. Метод половинного деления

Пусть уравнение (1) имеет на отрезке [a,b] один корень, а функция f(x) на данном отрезке непрерывна и f(a)·f(b)<0. Разделим отрезок [a,b] пополам точкой x₁=(а+b)/2. Если f(x₁)≠0 , то для продолжения вычислений выберем ту часть промежутка, где знаки функции различны. Концы полученного отрезка обозначим [a₁,b₁] и снова разделим отрезок [a₁,b₁] пополам точкой x₂=(а+b)/2 и т. д. В результате получим последовательность вложенных отрезков [a₁,b₁], [a₂,b₂],… [a_n,b_n],…таких, что

f(a_n)·f(b_n)<0, b_n - a_n=2 ^-n·(b-a), (n=1,2,…).

Рис.2. К объяснению метода половинного деления

1. Число ξ, которое является общим пределом последовательностей {an} и {bn}, это точный корень уравнения (1). Оценим погрешность решения на n-м шаге:

ξ-a_n ≤ a_n-b_n .

Считаем до тех пор, пока длина промежутка не станет меньше заданной точности ε . В качестве ответа возьмем середину отрезка [a_n,b_n].

Пример3. Найти, используя пакет MATHCAD, методом половинного деления корень уравнения x⁴-x³-2x²+3x-3=0 на промежутке [1,2]

Функция koren(a,b,ε) возвращает длину отрезка, который будет меньше заданной точности ε и значение корня на этом промежутке, если на концах отрезка [a,b] функция имеет противоположные знаки, или сообщение об отсутствии корня, в противном случае.

Метод хорд

В этом методе нелинейная функция f(x) на отделенном промежутке

(a,b) заменяется хордой, проходящей через точки (a,f(a))и (b,f(b))

Рис.3. Метод хорд. Неподвижен правый конец промежутка b

Уравнение хорды: . Найдем точку пересечения хорды с горизонтальной осью. Полагая и , получим

Точку x₁ принимаем за новую границу отрезка, где содержится корень. Через эту точку с координатами (x₁,f(x₁)) и соответствующую границу предыдущего интервала (b,f(b)) опять проводят хорду, находят и т.д., получая последовательность x₁,x₂,x₃,…x_n,…, сходящуюся к корню уравнения.

Вторая производная сохраняет постоянный знак на . Следовательно, возможны два случая. Если f(b)·f "(b)>0, то хорда имеет правый фиксированный конец, причем последовательность x₀,x₁,…x_n приближается к корню слева. За начальное приближение x₀, естественно, берут a

; ; ;

.

Рис. 4. Метод хорд. Неподвижен левый конец промежутка a

Если f(a)·f "(a)>0, то хорда имеет левый фиксированный конец, причем последовательность x₀,x₁,…x_n … приближается к корню справа. За начальное приближение x₀, берут b

; ; ;

.

Для оценки точности можно воспользоваться формулой

,

где -точный корень, - приближенный корень, , на промежутке [a,b]. Считаем до тех пор пока, не выполнится условие . Если имеет место неравенство , то счет можно прекратить, когда.

Пример 4 Найти методом хорд корень уравнения x⁴-x-1=0

Решение находим, используя пакет MATHCAD

Метод Ньютона – метод касательных

Пусть - корень уравнения отделен на отрезке , причем и непрерывны и сохраняют определенные знаки на этом же отрезке . Найдя какое-нибудь n-е значение корня (), уточним его по методу Ньютона. Для этого положим , где - считаем малой величиной. Разложим функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x _n по степеням h _n Тогда можно записать:

Ограничимся двумя членами ряда и так как, то:

.

Учитывая найденную поправку h_n:,получим (n=0,1,2,…).

Рис.5. Метод касательных. Начальное приближение x₀=a

По-другому этот метод называется методом касательных. Если в точке провести касательную к функции f(x) , то ее пересечение с осью ОХ и будет новым приближением x₁ корня уравнения

Хорошим начальным приближением является то значение, для которого выполнено неравенство .

Погрешность вычислений: , или

Теорема 2: Если , причем и отличны от нуля и сохраняют определенные знаки при , то, исходя из начального приближения, удовлетворяющего условию , можно вычислить методом Ньютона единственный корень уравнения с любой степенью точности.

Пример 5 Найти методом Ньютона корень уравнения x⁴-x-1=0, предварительно отделив корни графически

Модифицированный метод Ньютона

Если производная мало изменяется на отрезке [a,b] то в формуле можно положить . Отсюда для корня уравнения получаем последовательные приближения по формуле

Рис.6 Модифицированный метод Ньютона

(n=0,1,…)..

Метод секущих

Заменим производную функции f(x) в точке x_n на функцию F(x) в этой же точке. Подставим ее вместо производной в формулу Ньютона

,

.

В методе секущих требуются задать для начала счета два значения x₀ и x_1. Отрезок [x₀, x₁] не обязательно должен содержать корень уравнения.

Метод итерации

Пусть дано уравнение

, (1)

где - непрерывная функция. Заменим его равносильным уравнением

. (2)

Выберем каким-либо способом приближенное значение корня и подставим его в правую часть уравнения (2). Получим некоторое число . Повторим данную процедуру с x₁, получим . Повторяя описанную процедуру, будем иметь последовательность чисел:

, где n=1,2,…. (3)

Пусть у этой последовательности существует предел . Перейдем к пределу в равенстве (3). Предполагая функцию φ(х) непрерывной, найдем: или .

Таким образом, предел является корнем уравнения и может быть вычислен по формуле (3) с любой степенью точности.

На рисунке дана геометрическая интерпретация метода итераций в зависимости от знака производной функции φ(х).

Рис.7. φ^’(х)>0 Рис.8. φ^’(х)<0..

Достаточное условие сходимости процесса итераций определяется в следующей теореме.

Теорема 3: Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке , причем все ее значения . Тогда, если существует правильная дробь q такая, что при , то