РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Отделение корней уравнений

1. Пусть дано уравнение

. (1)

Точным корнем уравнения (1) на конечном или бесконечном отрезке для непрерывной функции назовем такое значение , при котором . Так как уравнение может быть достаточно сложным, редко удается найти его точные корни, и задача состоит в том, чтобы найти его приближенные корни и оценить степень их точности.

Процесс решения трансцендентного уравнения общего вида f(x) = 0 проводится в два этапа:

1. Отделение корней, т.е. установление возможно малых промежутков , в которых содержится один и только один корень уравнения(1);

2. Уточнение приближенных корней, т.е. нахождение их с заданной точностью ε.

Теорема 1: Если непрерывная функция принимает значения противоположных знаков на концах , т.е. , то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения , т.е. найдется хотя бы одно число ξ, такое, что .

Корень [ ]заведомо будет единственным, если производная существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала , т.е. (или ) при .

Аналитический метод отделения корней

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции в граничных точках и области ее существования. Затем определяются знаки функции в ряде промежуточных точек , выбор которых учитывает особенности функции . (Имеются в виду точки, где функция имеет экстремум или разрыв) Если окажется, что , то в силу теоремы в интервале существует корень уравнения . Можно сузить полученные промежутки методом простой подстановки значений в уравнение.

Пример1. Отделить корни уравнения

Найдем корни производной

,

x₁=1 x₂=0.75 x₃=1

Составим таблицу. В первой строке поместим в порядке возрастания концы интервала и точки экстремумов, во второй знаки функции в этих точках.

х	-∞	-1	0.75	1	∞
Sign f(x)	+	-	-	-	+

Уравнение имеет два корня. , . Уменьшим промежутки, в которых находятся корни:

х	-∞	-2	-1	0.75	1	2	∞
Sign f(x)	+	+	-	-	-	+	+

Следовательно, , .

1. Графический метод отделения корней

Действительные корни уравнения f(x)=0 приближенно можно определить как абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох. Если уравнение не имеет близких между собой корней, то этим способом корни легко определяются. На практике часто удобно тождественно преобразовать уравнение к виду , где и - более простые функции, чем функция . Тогда, построив графики и , искомые корни получаются как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Пример2.

Отделить графически корни уравнения x·ln(x)-1=0. Преобразуем его к виду 1/x=ln(x) и построим графики.