книги по релейке часть 1 / ТОЭ / Демирчян К.С. Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники / Теоретические основы электротехники том 2

òîêå i 0,15 A. Напряжение на нагрузке сохраняется постоянным при изменении ее сопротивления на значение r 200 Îì – 67 Îì 133 Îì.

19.2. Транзистор как элемент электрической цепи

ВОПРОСЫ

1.Ток базы биполярных триодов значительно больше тока затвора полевых триодов, управление которыми осуществляют, меняя напряжение между затвором и истоком. Вследствие этого и коэффициент усиления тока биполярых триодов существенно меньше.

2.Параметры элементов эквивалентной схемы триода в режиме «малого» сигнала постоянны в отношении малых изменений токов и напряжений базы, эмиттера и коллектора, так как соответствующие эквивалентные схемы получены при удержании в разложении в ряд лишь линейно зависящих от аргумента слагаемых. При работе триода при низких частотах принимают также допущение о пренебрежении токами конденсаторов, входящих в схему Эберса–Молла.

УПРАЖНЕНИЯ

5. Преобразуем уравнения законов Кирхгофа iý i1 + i2, u1 i1rá + iýrý, u2 iýrý + + (i2 Πi1)rê для эквивалентной схемы триода (см. рис. P19.2) относительно напряжения u2 è òîêà i1 iá:

Сопоставление этих уравнений с уравнениями u1 h11i1 + h12u2, i2 h21i1 + h22u2 позволяет найти искомые величины:

554 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

Иногда целесообразно определять h-параметры триода по полученным опытным путем характеристикам iá f(uáý, uêý) è iê f(uêý, iá) (ðèñ. P19.4)

Ðèñ. P19.4

При разложении нелинейных функций в ряд по малым параметрам iá, uêý â òî÷- êå À и удержании слагаемых первого порядка малости, т. е. пренебрежении слагаемыми высшего порядка малости, получаем соотношения

чения в режиме малого сигнала, однако изменяются при изменении положения точки À, определяющей величины iê0, uê0 при отсутствии входного сигнала.

6. Из уравнений законов Кирхгофа – u1 + i1h11 + h12u2 0, h21i1 + u2h22 i2 0, u2 i2rí для эквивалентной схемы триода (см. решение упр. 5) находим после

простых преобразований искомые величины:

Параметры применяемых триодов таковы, что в практических расчетах часто

8. Используя эквивалентную схему триода (см. решение упр. 5), изобразим на рис. P19.5 схему электрической цепи при расчете режима «малого» сигнала.

Подставляя численные значения, находим: ku Γ –0,99, ki Γ –1,56.

9. Используя эквивалентную схему триода (см. решение упр. 5), можем изобразить схему электрической цепи (рис. P19.6) для расчета токов и напряжений в режиме «малого» сигнала. Подставляя в уравнение второго закона Кирхгофа

u1 – ih11 h12u2 соотношение i u2 g 1/h21, ãäå g h22 + 1/rí + 1/r4, получаем после простых преобразований величины

(в последнем выражении обозначено gí 1/rí, g12 1/r1 + 1/r2).

10. Сопоставление уравнений законов Кирхгофа i1 0, i2 Su1 + Gu2 (ðèñ. P19.7)

и уравнений i1 y11u1 + y12u2, i2 y21u1 + y22u2 позволяет получить искомые вели- чины: y11 0, y12 0, y21 S, y22 G.

ðèñ. Ð19.7).

Ðèñ. P19.8 Ðèñ. P19.9

12. На рис. P19.8 изображена схема усилителя (вариант à) в режиме «малого»

Для цепи варианта á соответствующая схема приведена на рис. P19.9.

19.3. Нелинейные свойства ферромагнитных материалов

ВОПРОСЫ

3. При различных частотах тока катушки распределение магнитной индукции в ферромагнитном сердечнике также различно: при низких частотах равномерность распределения магнитного потока в сердечнике больше, чем при высоких. Чем выше удельная электрическая проводимость ферромагнитного вещества,

556 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

тем больше проявляется этот эффект, так как влияние вихревых токов в этом случае возрастает.

Поэтому индуктивность катушки с ферромагнитным сердечником зависит от частоты протекающего по ней тока: с увеличением частоты тока ее индуктивность уменьшается, причем эта зависимость имеет нелинейный характер.

19.4. Аппроксимация нелинейных характеристик

ВОПРОСЫ

1.К недостаткам метода кусочно-линейной аппроксимации можно отнести: à) необходимость задания большого числа участков для получения приемлемой точности расчета; á) скачкообразное изменение параметра (например, индуктивности либо сопротивления) при переходе от любого участка к соседнему вследствие различного наклона отрезков прямых на участках. Этот недостаток не удается преодолеть путем увеличения числа участков.

2.Стремление увеличить точность расчета приводит к усложнению применяемых для аппроксимации нелинейных характеристик зависимостей. Так, например, при использовании степенного полинома для аппроксимации нелинейной характеристики на всем рабочем диапазоне изменения аргумента его порядок должен быть достаточно высоким. Однако при увеличении порядка полинома он становится колебательным вблизи нелинейной характеристики, что приводит к росту погрешности аппроксимации производных нелинейной функции, которые зачастую используют в расчетах.

Разбивая нелинейную характеристику на ряд участков и аппроксимируя ее на каждом из участков полиномом невысокого порядка, можно увеличить точность, сохраняя непрерывность функции и ее производных на границах участков.

3. Принимая при разбиении нелинейной характеристики u f(i) íà n участков

заданными значения u1 ïðè i i1, u2 ïðè i i2, ..., un+1 ïðè i in+1, находим 2n искомых коэффициентов из уравнений uk akik + bk, k 1, ..., n. Например, для получе-

ния коэффициентов ak, bk решаем уравнения: uk ak ik bk , uk 1 ak ik 1 bk .

4. При разбиении диапазона изменения аргумента нелинейной характеристики на n участков имеем n + 1 точек (из них n – 1 — точки внутренние и 2 точки — граничные), в которых заданы значения uk (k 1, ..., n + 1) нелинейной функции. Как и в предыдущем упражнении, можем составить по два уравнения

на каждом из n участков (всего 2n уравнений)

Применение полиномов третьего порядка позволяет обеспечить во всех внутренних n – 1 точках непрерывность первой и второй производных нелинейной функции, что дает возможность составить дополнительно 2(n – 1) уравнений:

6ak ik 1 2bk 6ak 1ik 1 2bk 1, k 2, , n.

Для получения недостающих 4n – 2n – 2(n – 1) 2 уравнений задают две производные функции в двух граничных точках. Например, при задании первых производных имеем уравнения

Заметим, что такой способ нахождения двух недостающих величин не является единственно возможным.

20.1. Последовательное, параллельное и смешанное соединение нелинейных элементов электрических цепей

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Характеристика нелинейного элемента должна быть неуправляемой по напряжению, подобно изображенной на рис. P20.1 характеристике u F(i). При увеличении напряжения на входе цепи от нуля до u1 ток примет значение i1, тогда как при его уменьшении от значения u >> u1 äî u1 — значение i3 i1.

2. Точки пересечения прямой u u0 – r1i (рис. P20.2) с характеристикой uíý F(i) являются точками равновесия, так

как для этих точек справедливо уравнение второго закона Кирхгофа: uíý + ir1 u0. Для показанного напряжения è0 на входе цепи количество точек равновесия зависит от значения сопротивления r1 резистора: при малых r1 оно равно трем (À, Â, Ñ), а при больших — одной (D). Ïðè u < umin возможно существование лишь одной точки равновесия.

3. Решая уравнение u u1 u2 C(i1 + i2), ãäå Ñ — постоянная, i2 uk, получа- ем искомую зависимость i1 uC uk.

5. Построив зависимость u3 f(i3) uíý3(iíý3) E3, получаем далее соотношение

i1 f(u2) i2 (uíý2) + i3 (u3). Искомая зависимость принимает вид uâõ u1(i1) + u2(i1), ãäå u1 uíý1(i1) + E1 u1(i1).

8.Функция i f(u) изображена на рис. P20.3 сплошной линией.

9.Схема электрической цепи изображена на рис. P20.4.

558 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

20.2. Методы расчета нелинейных электрических цепей

=, gã определяют параметры эквивалентного генератора (рис. Р20.5). Òîê = эквивалентного генератора суть ток ветви замкнутого накоротко нелинейного элемента, gã —

проводимость цепи между зажимами нелинейного элемента при замкнутых накоротко источниках ЭДС и разомкнутых ветвях, содержащих источники тока.

6. Для схемы à (вариант 2) имеем: e r1i + u2 r1 f(u2) + u2, откуда получаем уравнения u2 e – r1 f(u2), r1 f(u2) + u2 – e 0.

Для схемы á (вариант 2) можем записать: = i1 + i2 g1u + i2 g1 f(i2) + i2, i2 = – g1 f(i2), g1 f(i2) + i2 – = 0.

Для схемы â (вариант 1) из уравнений e u1 + u2 f1(i1) + f2(i3), i3 i1 – i2i1 1r f2 (i3 ) находим ток i1 i3 + 1r f2(i3) и, подставляя его в первое уравнение,

получаем искомое уравнение e f1[i3 + 1r f2(i3)] + f2(i3), èëè f1[i3 + 1r f2(i3)] + + f2(i3) – e 0.

8. Для характеристики, изображенной на рис. Р20.6, имеем ríý ui , e u0, а для характеристики, приведенной на рис. Р20.7, ríý ui , e –u0. Схемы замещения элементов изображены на рис. Р20.8.

20.3. Нелинейные магнитные цепи

УПРАЖНЕНИЯ

3. Таблица аналогичных величин электрических и магнитных цепей приведена ниже.

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач 559

4. Учитывая, что магнитное сопротивление участка магнитной цепи можем найти

Таким образом, магнитные сопротивления сердечника и зазора имеют один и тот же порядок, и, несмотря на относительную малость зазора, при расчете магнитной цепи им пренебречь нельзя.

10. Вариант à. При одновременном установлении токов намагничивание на всех участках магнитной цепи происходит по первоначальной кривой намагничивания, тогда как во втором случае такое намагничивание имеет место только при установлении тока i1. При последующем увеличении тока i2 только поток Μ3 продолжает возрастать, тогда как потоки Μ1, Μ2 уменьшаются и происходит перемагничивание участков магнитной цепи уже не по первоначальной кривой намагничивания. Поэтому в общем случае в нелинейной магнитной цепи значения потоков на ее участках зависят от порядка установления токов катушек.

Вариант á. В рассмотренном выше случае неодновременного установления токов катушек поток Μ2 может изменить направление при выборе соответствующего соотношения между МДС i1w1 è i2w2.

Вариант â. Это возможно, так как если вначале устанавливать ток i1, то потоки Μ1, Μ2 принимают наибольшие значения, которые в дальнейшем при установлении тока i2 уменьшаются.

21.1. Формы кривых тока и напряжения в нелинейных цепях. Метод эквивалентных синусоид

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

5. Зависимость i(t) изображена на рис. Р21.1.

8. При уменьшении площади петли гистерезиса вели- чина Ðôåð уменьшается и угол ! увеличивается. С увеличением толщины листов сердечника (при неизменной удельной электрической проводимости материала

листов) растут потери Ðâ, обусловленные вихревыми Ðèñ. P21.1 токами, и угол ! падает. При уменьшении удельной электрической проводимости вещества листов сердечника величина Ðâ уменьшается и угол ! растет.

21.2. Катушка и трансформатор с ферромагнитным сердечником. Явление феррорезонанса

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

560 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

На векторной диаграмме (см. рис. Р21.2, á), соответствующей эквивалентной схеме катушки и содержащей элементы r0, x0, напряжение U0 разложено на активную Ur0 составляющую, находящуюся в фазе с током, и реактивную Ux0 составляющую.

3. Использование листов большей толщины ведет вследствие увеличения вихревых токов к росту потерь Ðâ на вихревые токи и,

следовательно, полных потерь в сердечнике. При этом угол магнитного запаздывания между эквивалентными синусоидами тока катушки и магнитного потока в сердечнике возрастает, а угол ! между эквивалентными синусоидами приложенного к катушке напряжения и тока в ней уменьшается.

Введение воздушного зазора в ферромагнитный сердечник катушки приводит к изменению характеристики < f(I), которую можно получить, учитывая, что участки магнитной цепи (сердечник и воздушный зазор) соединены последовательно. При этом угол магнитного запаздывания уменьшается.

4. Так как комплексное магнитное сопротивление сердечника связано с комплексным электрическим сопротивлением его обмотки, а последнее, в свою оче- редь, зависит от способа выбора эквивалентных синусоид тока и напряжения, то и величина Zì зависит от того, как выбраны эквивалентные синусоиды.

11. Если в точке U 0, I 0 провести касательную к кривой UL f(I), то тангенс

угла ее наклона к оси тока определит величину 1/ Cmin, откуда находим искомое наименьшее значение емкости Ñmin.

21.3. Методы гармонического баланса и кусочно-линейной аппроксимации нелинейных характеристик

ВОПРОСЫ

5. Процесс будет описываться одним и тем же дифференциальным уравнением на всем участке ab изменения одной из величин, если при этом ни одна из переменных, связанная нелинейными зависимостями с другими, не выходит за пределы своего прямолинейного отрезка. Однако уже при наличии двух нелинейных элементов, характеристики которых аппроксимируют несколькими прямолинейными отрезкам, это условие трудновыполнимо. В то время как соответствующая одному нелинейному элементу переменная находится на отрезке ab, переменная другого нелинейного элемента может перейти от одного отрезка аппроксимации характеристики к другому. При этом переходе изменяется и дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс в цепи.

В общем случае дифференциальное уравнение изменяется при переходе через любую точку, общую для двух соседних прямолинейных отрезков, аппроксимирующих любую из нелинейных характеристик.

22.1. Устойчивость состояния равновесия

ВОПРОСЫ

2. Это возможно, так как в устойчивой электрической цепи отклонение любой из величин (тока или напряжения) должно стремиться к нулю при t . Если же цепь неустойчива, то при отклонении любой из величин от равновесного значе- ния токи и напряжения не возвращаются к начальным равновесным значениям.

4. При увеличении индуктивности катушки время перехода из точки À в точку Â возрастает, переходный процесс протекает медленнее.

При увеличении сопротивления резистора изменяется положение точек À, Â и токи равновесных состояний сближаются. При критическом значении сопротивления резистора, когда прямая u u0 – ri касательна к линии u f(i), состояние равновесия становится единственным.

УПРАЖНЕНИЯ

8. Для получения искомого соотношения записываем, линеаризуя характеристику нелинейного элемента в точке равновесия, линейное дифференциальное уравнение относительно малого отклонения ? тока либо напряжения на нелинейном элементе от состояния равновесия. Требуемое соотношение следует из условия < 0, где — корень соответствующего дифференциальному характеристического уравнения. Например, для цепи à из уравнения

для малого отклонения тока нелинейного элемента получаем соотношение

при выполнении которого состояние равновесия устойчиво (здесь gä 1 — äè- rä

намическая проводимость нелинейного элемента в точке равновесия).

22.2. Автоколебания в нелинейных электрических цепях

ВОПРОСЫ

1. В нелинейных электрических цепях с обратными связями, как и в линейных цепях, могут существовать автоколебания как при положительной, так и при отрицательной обратной связи. Условиями их возникновенияпри линеаризации характеристик являются балансы амплитуд и фаз. Они могут быть выполнены

562 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

при любом виде обратной связи. Так, если в цепи устроена отрицательная обратная связь, то вследствие появления фазовых сдвигов при прохождении сигнала она может стать положительной (если полный фазовый сдвиг составляет 180Τ). Если же в цепи выполнена положительная обратная связь, то это еще не гарантирует появления автоколебаний. Действительно, если сдвиг по фазе между сигналами на входе и выходе цепи с разомкнутой обратной связью составляет 180Τ, то при замыкании цепи обратной связи она становится отрицательной и автоколебания не возбуждаются. При сдвиге по фазе 0 или 360Τ происходит возбуждение колебаний.

2. Если в цепи не действуют источники энергии и входящие в нее элементы неидеальны, то автоколебания невозможны, так как начальная запасенная в цепи энергия рассеивается в виде тепла в неидеальных элементах. Однако при действии в цепи источников автоколебания возможны, даже если в нее входят неидеальные элементы, так как выделение энергии в элементах компенсируется ее поступлением от источников.

6. Наибольшая возможная амплитуда колебаний тока определяется его наибольшим значением imax в соответствии с нелинейной характеристикой элемента. В связи с тем, что динамическая проводимость есть функция напряжения нелинейного элемента, возможно существование колебаний с любой амплитудой, не превышающей величины imax.

8. Амплитуду и частоту колебаний в цепи можем найти, решая уравнение

1 – K(j )Kîñ(j ) 0, равносильное двум уравнениям: Re [K(j )Kîñ(j ) )] 1, Im [K(j )Kîñ(j )] 0, которые в зависимости от характеристик K(j ), Kîñ(j ) принимают тот или иной вид. Если, в частности, имеем K(j ) Kó , òî îíè ïåðå-

ходят в уравнения Re [Kîñ(j )] K y 1, Im [Kîñ(j )] 0.

9. Динамические сопротивления нелинейного элемента в точках восходящих участков характеристики положительны, и поэтому соответствующие точкам на этих участках состояния равновесия устойчивы. Малые отклонения от состояния равновесия в этих точках уменьшаются по апериодическому закон, в связи с чем автоколебания в цепи не возникают.

22.3. Расчет переходных процессов в нелинейных цепях

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

4. При интегрировании дифференциального уравнения первого порядка на каждом участке характеристики единственную постоянную находим из условия непрерывности искомой переменной при переходе от одного участка к соседнему. Если априорно известно, что искомая переменная непрерывна и имеет непрерывные производные до k – 1 порядка включительно при значениях переменных на границах участков аппроксимации нелинейной характеристики, то для нахождения в общем случае k постоянных интегрирования следует использовать условия непрерывности функции и ее k – 1 производной.

7. Вариант à. Найдем границы рабочего участка характеристики нелинейного резистора, т. е. его ток i и напряжение u ïðè t 0 è ïðè t (ðèñ. Ð22.1).