Определим время движения границы раздела. Пусть за время dt граница раздела прошла путь ds. Тогда справедливо

Qdt = mω (s)ds.

Интегрируя данное уравнение с учетом (6.5), получаем

Когда точное интегрирование уравнения (6.7) невозможно, то применяют методы численного интегрирования. В следующих параграфах рассмотрены некоторые частные случаи.

6.3. Прямолинейное движение границы раздела с постоянной толщиной, пористостью и проницаемостью пласта

Рассмотрим прямолинейное движение контура нефтеносности (КН) к прямолинейной батарее скважин в полосообразном пласте (рис. 6.2). Принимаем: Рк = cоnst — давление на контуре питания (КП); Рс = cоnst — давление на одной из близких изобар к батарее скважин; ω (s) = cоnst.

Рис. 6.2. Схема прямолинейного движения границы раздела двух жидкостей

86

Для определения времени продвижения контура нефтеносности воспользуемся формулой (6.2). При t0 = 0 имеем

Формула (6.9) получается также элементарным путем. Если за время t пройден путь S — S0, а истинная скорость движения u = const и равна

При S = l (рис. 6.2) получим время вытеснения нефти водой.

6.4. Плоскорадиальное движение границы раздела с постоянной толщиной, пористостью и проницаемостью пласта

Рассмотрим плоскорадиальное движение кругового контура нефтеносности к совершенной скважине при установившемся процессе фильтрации по линейному закону Дарси (рис. 6.3). Контур питания представляет собой окружность радиуса Rк, где давление Рк = const. На контуре скважины радиуса rс поддерживается давление Рс = const. По условию h = const, т = const, k= const.

В данном случае площадь фильтрации ω (s) = 2πrh является

87

переменной величиной. Так как S = Rк — r (см. рис. 6.3), то ds = — dr. С учетом изложенного по формуле (6.6) имеем

Рис. 6.3. Схема плоскорадиального движения границы раздела двух жидкостей

Подставляя значение (6.11) в (6.7), интегрируя в пределах от начального положения радиуса контура нефтеносности r1 до его конечного положения r2, при t = 0 получим

Время прорыва воды в скважину определится из (6.12) при r2 = rс.

88

6.5. Кинематические условия на подвижной границе раздела. Характер движения водонефтяного контакта (ВНК)

внаклонных пластах

Вреальных условиях механизм движения границы раздела много сложнее, чем рассмотренный до этого. Рассмотрим наклонный пласт, где первоначальная граница горизонтальная (рис. 6.4).

Пусть пласт вскрывается скважинами в нефтяной зоне. При отборе нефти водонефтяной контакт (ВНК) будет перемещаться вверх. Если площадь ВНК сравнительно мала, то перемещение границы раздела можно считать равномерным, т. е. подвижная поверхность остается параллельной первоначальному положению ВНК. При достаточно большой площади ВНК картина движения искажается, в большинстве случаев происходит опережение в движении границы раздела по подошве пласта, т. е. имеет место пространственное движение. Точного решения о пространственном движении границы раздела не имеется. Основная трудность такого решения заключается в том, что на границе происходит преломление линий тока. Рассмотрим следующую схему (рис. 6.5). Возьмем на границе раздела

произвольную точку М и проведем через нее касательную τ и нормаль п. Очевидно нормальные составляющие скорости движения воды и нефти в точке М будут равны, т. е. (Wn)в = (Wn)н, т. к. в силу неразрывности потока элементарные расходы воды и нефти через сечение dω равны. Касательные, составляющие скорости обеих жидкостей, согласно закону Дарси записываются в виде

89

вязкость меньше, там тангенциальная скорость больше. Векторы скорости для частицы воды и нефти записываются в форме (рис. 6.5)

откуда видно, что wв ≠ wн.Таким образом, на границе раздела скорость

частицы претерпевает разрыв, и линия тока (АМВ) преломляется. Линии тока не будут преломляться в двух случаях: при прямолинейном и плоскорадиальном движениях, уже нами рассмотренных. Поэтому здесь и возможны точные решения задачи о продвижении границы раздела. В этих случаях касательные, составляющие скорости фильтрации, равны нулю (wτ= 0).

Приближенные методы решения задач пространственного движения границы раздела заключаются в следующем:

1.Полагают, что вязкость и плотность воды и нефти одинаковы и решают задачу для одножидкостной системы с последующим введением поправок на различие в вязкостях и плотностях жидкостей. При таких допущениях линии тока и траектории частиц совпадают, а потенциал и скорость легко рассчитываются.

2.Полагают послойное движение частиц (метод В. Н. Щелкачева), т. е. движение предполагается параллельным кровле или подошве. По этой схеме можно оценить опережение частиц по подошве пласта.

3.Рассматривают пласт однородно-анизотропный, где Кх и Ку — проницаемости в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях. Пределы

истинного движения устанавливаются краевыми условиями: Ку = 0 и Ку = ∞. Последний случай соответствует гидравлической теории безнапорного движения о гидростатическом распределении давления в каждом поперечном сечении потока.

Рассмотрим вопрос об устойчивости границы раздела. Если частица вытесняющей жидкости (воды), попавшая в область, занятую вытесняемой жидкостью (нефти), замедляет свое дальнейшее движение, такое движение называется устойчивым. При ускорении последующего движения процесс называется неустойчивым. Для вытесняющей и вытесняемой жидкостей (воды и нефти) закон Дарси в общем виде записывается следующими формулами:

90

Если первая жидкость (вода) проникла во вторую (нефть), то для первой жидкости закон Дарси записывается в виде

Тогда разность скоростей w = (w1)2 — w2 выразится формулой

Проникновение первой жидкости в зону движения второй происходит вдоль кровли или по подошве. Тогда значение ∂∂zs представляет собой sin α,

где α — угол наклона пласта к горизонту (рис. 6.5). Проницаемость (k1)2 — это проницаемость переходной зоны, которая много меньше k2. В первом приближении можно принять (k1)2 ≈ k2. Скорость w2 определяют по дебиту скважины . Следовательно, можно оценить w.

Если w ≤ 0, то движение устойчиво; при w > 0 движение неустойчиво. Движение всегда устойчиво при малых скоростях и когда

γ1 > γ2, α > 0.

Чарным И.А. показано [5], что схема движения ky = ∞ всегда дает неустойчивое движение.

6.6.О некоторых особенностях вытеснения газированной нефти водой и газа газированной нефтью при разработке нефтяных оторочек

Как известно, фундаментальные основы фильтрации газированной жидкости в пористых средах изложены в известных работах Лейбензона Л.С., Христиановича С.А., Чарного И.А., Маскета М., Викофа и Ботсета, Уилджа X., Глоговского М.М., Розенберга М.Д., Эфроса Д.А., Курбанова А.К. и др. В промысловой практике вытеснение газированной нефти водой может иметь место в случаях: а) при площадном заводнении оторочки частично или полностью в условиях режима растворенного газа; б) при последовательной и одновременной разработке нефтяной оторочки и газовой шапки в условиях упруговодонапорного режима при снижении пластового давления ниже давления насыщения; в) при законтурном и барьерном заводнении, когда давление в нефтяной оторочке снижается ниже давления насыщения.

91

Задача о вытеснении газа газированной нефтью может возникнуть при одновременной разработке газовой шапки и нефтяной оторочки, опережающей разработке газовой шапки и разработке газовой шапки с попутной добычей нефти в условиях развития газовой фазы вследствие снижения давления в нефтяной оторочке ниже давления насыщения.

Особенностью площадного заводнения является равномерное распределение нагнетательных скважин и сравнительно малые расстояния между нагнетательными и добывающими скважинами. В этом случае оказывается приемлемым [13] для характеристики механизма вытеснения использовать результаты лабораторных экспериментов, а физикоматематическую модель вытеснения можно трактовать следующим образом. Закачиваемая в пласт вода, вытесняя подвижный газ и заполняя поровое пространство в окрестности нагнетаемой скважины, образует нефтяной вал впереди фронта воды, который вытесняет подвижный и защемляет остаточный газ. Очевидно, защемленный газ снизит остаточную нефтенасыщенность. Следует иметь в виду, что в результате дегазации нефти вязкость и плотность нефти будут больше. Существует мнение, что в силу особенностей вытеснения газированной нефти водой в малоистощенных нефтяных пластах перед осуществлением площадного заводнения целесообразно создавать газонасыщенность путем рассредоточенной закачки газа в пласт [13].

В неистощенных нефтяных пластах газовая фаза может развиваться в условиях разработки при снижении пластового давления ниже давления насыщения. Результаты лабораторных исследований подтверждают [13], что

вопределенных условиях разработка нефтяного пласта с упругим режимом может быть более эффективной при пластовых давлениях ниже давления насыщения. Очевидно, начиная с момента непрерывного снижения пластового давления, процесс фильтрации будет неустановившимся, а нефте- и газонасыщение — переменным. Механизм вытеснения в этом случае можно представить следующей схемой. В нефтяной оторочке и на фронте вытеснения давление и газонасыщение непрерывно меняются; впереди закачиваемой воды (при законтурном, внутриконтурном или барьерном заводнении) движется нефтяной вал ограниченной протяженности, который встречает на своем пути и вытесняет газированную нефть с переменным соотношением газовой и нефтяной фаз, вследствие чего распределение защемленного газа в заводненной зоне будет неравномерным.

Используя результаты лабораторных опытов по вытеснению газированной нефти водой, в соответствии с теорией Бакли—Ливретта можно определить газонасыщенность на текущем фронте вытеснения и среднюю остаточную нефте- и газонасыщенность в зоне заводнения. Кстати заметим, лабораторными опытами по вытеснению газированной нефти водой

внесцементированном песке установлено, что остаточная газонасыщенность

взаводненной части превышает 2—3% объема пор [13]. Эта же задача изучалась на физической модели. Позднее [14] было установлено, что на

92

фронте вытеснения нефти водой образуется «нефтяной вал». Авторы предлагают использовать полученные ими результаты для приближенных расчетов технологических показателей заводнения обширных нефтегазовых зон, извлечение нефти из которых требует использования самостоятельной сетки скважин.

Методика расчета изменения среднепластового давления и остаточной нефтегазонасыщенности при вытеснении газированной нефти водой подробно изложена в работах Афанасьевой А.В. и Розенберга М.Д. [13, 15]. Показана бесспорная выгода метода разработки при снижении давления ниже давления насыщения в условиях естественного упруговодонапорного режима. Оптимальный предел снижения давления ниже Рнас должен оцениваться конкретно для каждого месторождения с учетом результатов лабораторных исследований процесса вытеснения на кернах данного продуктивного горизонта.

В работе [15] дано приближенное решение задачи о вытеснении газированной нефти водой в круговом пласте за счет упругости законтурной области, когда задано изменение дебита во времени. При этом авторы использовали метод подбора количества (расхода) вторгшейся в залежь воды. В работе [16] рассматривается аналогичная задача, но уже при заданных забойных давлениях и отборе нефти, не требующая подбора расхода вторгшейся в залежь воды. При этом залежь рассматривалась как укрупненная скважина и учитывалось образование зоны двухфазного потока. Было установлено, что в начальный период вытеснения преимущественная роль принадлежит энергии растворенного газа, а через некоторое время характеристики смешанного режима, изменение расхода вторгшейся воды qв = f (t) и пластового давления Р = f (t) приближаются к показателям упругого режима.

В работе [17] исследован характер фазовых проницаемостей по промысловым данным Ново-Дмитровского и Анастасиевско-Троицкого месторождений Краснодарского края путем дифференцирования индикаторных кривых. Была установлена трехпараметрическая зависимость

относительных фазовых проницаемостей для нефти и газа: К*н = (Р, Р* , λ) и Кг* = (Р, Р* , λ), где безразмерные параметры есть

где

Рк — давление на контуре питания; Р0 — начальное пластовое давление; Рс — забойное давление; Г — газовый фактор;

S (Pк) — коэффициент растворимости газа в нефти.

93

Авторы делают выводы, что при проектировании, анализе и контроле разработки нефтяных месторождений при давлениях ниже давления насыщения необходимо учитывать возможные многопараметрические зависимости относительных фазовых проницаемостей, определяемых по промысловым данным.

В работе [18] исследуется задача о вытеснении газированной нефти водой в условиях плоско-радиального притока. При этом используются дифференциальные уравнения, полученные Боксерманом А.А. и Розенбергом

М.Д. [19], связывающие текущее пластовое давление Р~ , насыщенность нефтью в переходной зоне, расстояние по радиусу и время. Задача решается с помощью ЭВМ. При этом изменение параметров принимается по следующим зависимостям:

Здесь Вн ( Р ) – объемный коэффициент нефти.

Авторы установили, что существенное влияние на характеристики процесса вытеснения оказывает абсолютная величина давления насыщения по сравнению с характером фазовых проницаемостей.

В работе [20] авторы рассмотрели задачу о вытеснении газа газированной жидкостью (нефтью) в случае отбора только газа, но уже с учетом изменения давления вдоль нефтяной части пласта в замкнутом круговом пласте. Задача решалась также методом смены стационарных состояний без учета реальных свойств нефти и газа. В результате получено сложное уравнение, устанавливающее связь между нефтенасыщенностью на контуре пласта и на контуре газоносности (на контуре «нефть—газ») и требующее численного интегрирования. Практического применения не дано. Для условий проникновения выделившегося газа из нефти в газовую часть также получено громоздкое сложное решение, тоже требующее численного интегрирования.

Приближенное решение задачи о фильтрации газированной жидкости в полубесконечном линейном пласте доступно изложено Степановым В.П. и Ефремовым Н.А. в работе [21]. Система уравнений двухфазной фильтрации решалась с использованием аппроксимирующих аналитических выражений для относительных фазовых проницаемостей. Результаты расчетов сравнивались с численным решением, полученным на ЭВМ [22]. Сходимость результатов оказалась исключительно высокой: граничные условия на галерее удовлетворены, а расхождение в значениях насыщенности составило 2%.

94

6.7. Многофазная фильтрация. Упрощенные математические модели вытеснения одной жидкости другой

6.7.1. Особенности многофазного течения и механизм вытеснения нефти в низкопроницаемых коллекторах. Низкопроницаемые коллекторы

(НПК), как правило, характеризуются повышенным содержанием остаточной воды, которая определяется удельной поверхностью и содержанием в породе глинистых минералов. Характер кривых фазовых проницаемостей для нефти и воды в этом случае связан с количеством, типом и распределением глинистого материала. Анализ кривых фазовых проницаемостей, полученных методом стационарной фильтрации, показывает смещение точки остаточной водонасыщенности в область повышенных значений водонасыщенности с увеличением содержания цемента в образце. Двухфазное течение характеризуется относительно высокими значениями относительной проницаемости для нефти при остаточной водонасыщенности с пониженными (по сравнению с обычными коллекторами) относительными проницаемостями для воды при остаточной нефтенасыщенности, составляющей 32—36% объема пор. Коэффициент вытеснения нефти водой также уменьшается при увеличении содержания связанной воды.

Интересную разновидность НПК представляют породы с двухмодальным распределением пор по размерам: часть пустотного пространства образована крупными проводящими каналами, а другая часть

— мелкими порами. Наличие двух систем поровых каналов разных размеров, что подтверждается обычно переломом на капиллярной кривой, приводит к тому, что в процессе формирования залежи (так же, как и в лабораторных экспериментах) нефтью заполняется только система крупных пор, мелкие поры остаются заполненными водой, в том числе и подвижной. Поэтому вытеснение нефти водой из таких пор характеризуется отсутствием безводного периода, т. е. с самого начала вытеснения в выходящей продукции отсутствует вода. Значения относительной проницаемости для воды при остаточной водонасыщенности отличаются от нуля, хотя относительная проницаемость для нефти при этом составляет 0,65—0,80. Коэффициент вытеснения нефти водой в таких породах может достигать 80%, а остаточная нефтенасыщенность снижается до 12—15% объема пор.

Помимо структурных особенностей порового пространства НПK, на характеристики совместной фильтрации и механизм вытеснения нефти оказывает существенное, а порой и доминирующее влияние характер смачивания поверхности, т. е. гидрофильность или гидрофобность коллектора. В гидрофобных НПК первого типа нефть вытесняется только из очень крупных поровых каналов. Связанная вода в таких коллекторах, видимо, капельно распределена в крупных порах, о чем косвенно свидетельствуют низкие значения проницаемости для нефти при остаточной водонасыщенности σво < 0,5. Вытеснение нефти сопровождается резким нарастанием проницаемости для воды, а область двухфазного течения весьма

95

узкая (Δσ ≤ 20%). Для НПК с двухмодальным распределением пор характерно такое же положение.

Обобщение данных по фазовым проницаемостям гидрофильных полимиктовых низко проницаемых песчаников Самотлорского месторождения показало, что состав и структурные особенности строения порового пространства НПК оказывают в основном влияние на фазовую проницаемость для воды и в меньшей степени для нефти. Эффективность разработки месторождений с НПК может быть повышена за счет применения газовых методов воздействия, в том числе в сочетании с заводнением. При реализации этих методов в пласте на отдельных участках происходит одновременная фильтрация нефти, газа и воды.

Фильтрационные характеристики пласта при наличии двух систем поровых каналов разных размеров, а тем более при одновременном движении трех фаз, отличаются от условий одно- и двухфазной фильтрации, и для их оценки требуются специальные установки и методики. Характерной особенностью многофазного течения является резкое увеличение фильтрационных сопротивлений при проявлении в поровом пространстве продуктивного пласта третьей фазы, в частности свободного газа. Так, проницаемость для воды при насыщении порового пространства остаточной нефтью и газом уменьшается в 1,2—1,4 раза по сравнению с проницаемостью для воды при остаточной нефтенасыщенности и в 2,1—3,0 раза по сравнению с водопроницаемостью при остаточном газе (в чисто газовой зоне). Сильнее всего при наличии трех фаз в пласте снижается проницаемость для газа — в 3—5 раз, в то время как проницаемость для нефти при проявлении газа уменьшается в 1,3—2,8 раза. Максимум фильтрационных сопротивлений наблюдается при одновременном течении трех фаз — нефти, газа и воды. Для многофазного течения характерно также значительное сужение диапазона изменения насыщенности порового пространства каждой фазы, причем в НПК это особенно ярко выражено, поскольку содержание остаточной воды в НПК повышенное.

По результатам исследований многофазной фильтрации, проведенных в лаборатории физики нефтяного пласта ВНИИ, газонасыщенность изменяется в пределах 13—35% порового объема, причем среднее значение остаточной газонасыщенности составляет 17,2%. Она существенно превышает значения остаточной газонасыщенности (50÷10%), полученные на насыщенных пористых средах (И.А. Чарный, 1963 г.), что еще раз подтверждает определяющее влияние структуры порового пространства и наличия цемента на фильтрационные характеристики.

Исследования многофазной фильтрации выявили важную особенность уменьшения остаточной нефтенасыщенности, как правило, на 3—4% объема пор при наличии в поровом пространстве свободного газа. Указанная особенность играет важную роль при выборе технологии разработки месторождения; снижения остаточной нефтенасыщенности вследствие проявления свободного газа необходимо определять для условий каждого

96

конкретного месторождения.

6.7.2. Теория Бакли-Леверетта. Бакли и Леверетт изучали двухфазную фильтрацию, пренебрегая капиллярным давлением и массовыми силами, для одномерного прямолинейного движения несжимаемой жидкости, т.е. когда сечение пласта S(x)=S=const. Тогда система уравнений записываются в виде

Здесь ω1 и ω2 - скорости фильтрации соответственно вытесняющей и вытесняемой жидкостей. Пусть суммарный расход жидкостей будет

97

ограниченного начальным сечением, где σ = 1, и сечением с заданной насыщенностью σ, к закачиваемому объему V, т.е.

f1! (σ) = Ω(σ ) .

V

Вообще говоря, фазовые проницаемости жидкостей и газов зависят от многих факторов [5], но в основном от насыщенности пористой среды фазами.

Относительные фазовые проницаемости определяются экспериментально на линейных моделях как функции насыщенности водой σ. Типовые кривые их представлены на рис.6.6 для вытеснения нефти водой и газом.

Например, движение фаз возможно, если σ>σсв. Здесь σсв – доля связанной (погребенной) воды от порового объема, величина которой достигает 20-22 %. Зная относительные фазовые проницаемости, строят

графические зависимости f1 (σ) и f!! (σ), рис. 6.7.

Уравнение (6.2.9) квазилинейное дифференциальное первого порядка в частных производных, решаемое обычно методом характеристик [3].

98

Имеются и другие эмпирические зависимости. Для газированной жидкости С. А. Ахмедов принимает эти зависимости по ВикофуБотсету [24]:

где σ — насыщенность жидкостью.

В этой работе утверждается, что для газированной жидкости насыщенность жидкой фазой на контуре пласта при Рк = const составляет σK ≈ 0,99, которая вдоль пласта (r < Rк) практически не изменяется и только вблизи забоя она резко падает. При фильтрации же газоконденсатных смесей σK ≈ 0,4. По мере приближения потока к скважине насыщенность жидкостью увеличивается. При этом содержание тяжелых компонентов (С3Р8 + С7+выс) уменьшается, а легких (N2, CO2, СН4, С2Н6) — увеличивается. Особенно резкое изменение в составе смеси проявляется в области низких давлений. Таким образом, состав исходной пластовой смеси, фазовые соотношения и вид кривых фазовых проницаемостей являются основными характеристиками стационарной фильтрации.

В.В. Мустафаев [25] приводит другие зависимости для фильтрации газированной жидкости как функции насыщенности жидкостью σ

где

К1*(σ) — для несмачиваемой жидкости;

К2*(σ) — для смачиваемой жидкости;

σ— насыщенность вытесняющей жидкостью (водой).

Используя зависимости (6.34), (6.35) и (6.37) из уравнения (6.28), получаем:

- для вытеснения нефти водой

101

- для вытеснения газа водой

- для фильтрации газированной жидкости доля газа в потоке при пластовых условиях

Функцию f (σ) можно выразить также через экспоненциальную зависимость [27]

где константы а и b можно определить при совместном решении двух уравнений вида (6.43), составленных для двух значений водонасыщенности σ. Например, для σ = 0,3 и σ = 0,7 имеем

Значения К1*(σ) и К2*(σ) определяются по соответствующим формулам

(6.34)—6.39). Подставляя (6.43) в (6.23), получаем

Заметим, формулы (6.23) и (6.45) выражают долю вытесняющей жидкости (водонефтяной фактор) из суммарного дебита скважины, приведенного к пластовым условиям, т. е.

102

Если же выразить через функцию Бакли-Леверетта долю добываемой нефти как отношение

фиксированного значения насыщенности σ по углу наклона касательной в данной точке к кривой относительной фазовой проницаемости. Этот метод требует весьма аккуратного и точного построения и отсчета, что весьма затруднительно. Возможен другой метод определения искомых — опять же метод касательной при использовании графической зависимости функции f (σ). Недостаток остается прежним. Лучше использовать полуэмпирические зависимости (6.45) и (6.48). Взяв их производные по насыщенности, с учетом (6.43) получаем: