Сборник задач_Электричество и магнетизм
.pdf
1. Электростатика
Раздел физики, изучающий взаимодействия неподвижных электрических зарядов, которые осуществляются посредством электростатического поля,
называется электростатикой.
1.1.Основные понятия и закономерности
Элементарный заряд
e 1, 6 10 19 Кл .
носитель отрицательного заряда – электрон e , носитель положительного заряда – протон p .
Электрический заряд обладает свойством дискретности
ne .
Электрические заряды считаются точечными, если линейные размеры тел, на которых эти заряды сосредоточены, во много раз меньше любых расстояний, рассматриваемых в данной задаче.
Закон Кулона
Fk q1 q2 r ,
r3
|
1 |
|
9 Н м2 |
|
|
12 |
Ф |
|
|
где k |
|
|
9 10 |
|
; |
0 8,85 10 |
|
|
. |
4 |
0 |
Кл2 |
|
м |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряженность электрического поля – векторная величина, численно равная силе, действующей на единичный положительный заряд
E Fq .
Напряженность электрического поля точечного заряда: E k qr3 r .
Потенциал электростатического поля в точке – скалярная физическая величина, численно равная работе, совершаемой кулоновской силой при перемещении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность
E, dl dl .
L L
Связь вектора напряженности электрического поля и потенциала электрического поля
|
|
|
|
|
|
|
E i |
x |
j |
y |
k |
|
, |
|
|
|
z |
|
где i , j , k базисные орты декартовой системы координат.
11
Объемная плотность электрического заряда
d q . dV
Поверхностная плотность электрического заряда
d q . dS
Линейная плотность электрического заряда
d q . d l
Электрический дипольный момент
p q l .
Электрический дипольный момент неполярной молекулы во внешнем электрическом поле
p 0 E .
Вектор электрического смещения электрического поля (электрическая индукция)
D 0 E P 0 E .
Поток вектора напряженности электрического поля, пронизывающего площадку S ,
E E cos dS En dS .
s S
Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме
|
1 |
n |
|
|
|
E |
qi , |
||||
0 |
|||||
|
i 1 |
|
|
||
в диэлектрике |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
D Dn |
dS |
qi . |
|||
0 |
|||||
S |
|
|
i 1 |
||
12
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. Обозначения физических величин и единицы измерения. |
||||||||||||||
q – заряд, q Кл . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
N – число зарядов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
dq |
|
– объемная плотность электрического заряда, |
|
Кл |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
dV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м3 |
|
|
||||||
|
dq |
|
– поверхностная плотность электрического заряда, |
|
Кл |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
dS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м2 |
||||
|
dq |
|
– линейная плотность электрического заряда, |
|
Кл |
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
dl |
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|||||||||
k |
1 |
|
|
|
9 109 |
Н м2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
Кл2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
8,85 10 12 |
Ф |
– электрическая постоянная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– диэлектрическая проницаемость среды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
F – сила. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
E – напряженность электрического поля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
– потенциал электрического поля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
U – разность потенциалов, напряжение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
W – энергия |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
А – работа силы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
С – электроемкость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
grad – градиент потенциала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
p |
= q· l |
– дипольный электрический момент. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
– вектор нормали к поверхности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ФЕ= EdS - поток вектора напряженности электрического |
поля через |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
замкнутую поверхность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
|
|
W |
- объемная плотность энергии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
D |
– вектор электрического смещения (электрической индукции). |
|||||||||||||||||||||
P– вектор поляризации.
– диэлектрическая воспринимаемость вещества.
13
1.3.Примеры решения задач
1.Два шарика одинакового радиуса и массы подвешены на нитях так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам заряда 4·10-7Кл они оттолкнулись и разошлись на угол 60◦. Определите массу шарика, если расстояние от точки подвеса до центра каждого шарика равно 20см.
Дано:
q= 4·10-7 Кл.= 60◦.
l = 0,2 м.
R1 R2 R
m ?
Решение:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
R |
|
|
R |
|
|
|
|
|||
F |
|
|
|
|
F |
||||||||
F |
Н |
2 |
|
2 |
|
|
Н |
F |
|||||
Кл |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
q |
Кл |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F |
|
mg |
|
|
|
|
|
mg |
F |
||||
Сообщенный шарикам заряд q перераспределится между ними таким образом, что каждый шарик получит заряд q2 . Под действием кулоновской
силы FКл отталкивания шарики расходятся на расстояние R . По закону Кулона сила взаимодействия шариков:
|
|
|
|
|
q |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
F k |
|
2 |
|
|
kq |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
R2 |
4R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Кл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
На каждый шарик действует сила тяжести |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
mg |
. Результирующая сил FКл и mg |
|||||||||||||||||||
– сила F , уравновешивает силу натяжения нити. Выразим |
FКл |
|
|
|||||||||||||||||
mg tg |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Подставим вместо FКл |
выражение из (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
q2 |
|
mg tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
k |
|
|
|
. |
|
|
R l sin |
|
l sin 30 |
|
. |
|
|
|
||||||
4R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выразим массу шарика
|
|
|
|
|
|
|
|
m k |
|
|
q2 |
|
|
k |
|
q2 cos 30 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4gl 2 sin2 30 tg30 |
4gl 2 sin3 30 |
|||||||||||||
Проверим размерность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Кл2 м с2 |
|
|
Дж с2 |
|
Н м с2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
[m] 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 кг . |
||||||||
м |
2 |
|
м |
2 |
|
м |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
Ф м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 109 16 10 14 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
3 8 |
0,1(кг) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 10 0, 04 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: масса шарика m=100 г.
2. Два положительных заряда q1 |
и q2 6q1 находятся r в вакууме на |
расстоянии 10 см друг от друга. |
На каком расстоянии от первого заряда |
14
находится точка, в которой напряженность поля равна нулю? Определите положение этой точки, если второй заряд – отрицательный.
Дано: |
Решение: |
q1 |
|
q2=6q1 |
|
r=10 см=0,1 м |
|
|
|
x –? |
|
1) По условию напряженность E2 поля в точке А равна нулю. ЕА=0.
По принципу суперпозиции результирующая напряженность поля равна геометрической сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом в
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
данной точке: |
EA |
E1 |
E2 0 , следовательно |
E1 |
E2 |
, а модули их одинаковы. |
||||||||
Запишем значения напряженностей: |
|
|
|
|||||||||||
E k |
q1 |
; E |
|
k |
|
6q1 |
|
6х12=(r–x1)2, извлечем корень из обеих частей |
||||||
1 |
x 2 |
|
|
2 |
|
|
(r |
x )2 |
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r–x1 = |
6 х1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,1–х1=2,45х1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0,1=3,45х1, |
|
|
х1=0,1/3,45 0,03 (м) = 3 (см) |
|
|
|
||||||||
2) Если второй заряд отрицательный, то точка А окажется слева от двух зарядов.
Напряженность в точке А: |
|
|
|
' 0 , |
|
|
' . |
|||||
E |
' E |
' E |
E |
' E |
||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
E ' k |
q1 |
; |
E ' k |
6q1 |
|
(r+x2)2=6х22 |
|
|
|
|||
x 2 |
(r x )2 |
|
|
|
||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r+x2=2,45 х2
х2=0,1/1,45 0,069 (м) = 7 (см)
Ответ: 1) если оба заряда положительные, то точка А расположена между зарядами на х1= 3 см; 2) если q2 0, точка расположена слева на протяжении линии r на х2= 7 см.
3. Четыре маленьких заряженных шарика находятся в состоянии равновесия так, что система зарядов образует ромб с острым углом α. Определите отношение зарядов соседних шариков.
15
Дано: n=4 q; α
q1 – ? q2
Решение:
В q2 |
|
|
|
|
|
|
F |
|
||
А |
F |
2 |
С |
F |
q1 |
|
' q1 |
|
|
|
|
|
||
|
a |
F2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
q2 |
|
|
|
|
D |
|
|
|
Чтобы вся система зарядов находилась в равновесии, необходимо, чтобы заряды q1>0, а q2 0. Рассмотрим условие равновесия зарядов на примере
заряда, помещенного в точку C. Силы |
|
|
|
|
|
' |
|
притяжения к отрицательному |
||
|
F |
|
F |
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||
заряду. Их результирующая сила: |
F ' 2F cos |
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По закону Кулона модули сил F F ' |
k |
q1q2 |
|
, |
|
|
||||
|
|
|
||||||||
2 |
2 |
|
|
|
a2 |
|
|
|
||
где а – сторона ромба; r a cos 2
Заряды в точках А и С одинаковы и между ними действует сила отталкивания:
F k |
q 2 |
|
k |
|
|
q 2 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||
|
2 |
4a |
2 |
cos |
2 |
||
|
2a cos |
|
|
2 |
|||
|
|
2 |
|
|
|
||
Заряды находятся в равновесии, поэтому приравняем правые части равенств:
|
|
|
q 2 |
|
|
2k |
q q |
2 |
|
|
k |
|
|
1 |
|
|
1 |
cos |
|
||
4a |
2 |
cos |
2 |
|
a2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q1 = 8cos3
q2 2
Ответ: отношение зарядов соседних шариков q1 
q2 = 8cos3 2
4. Заряды по 10-6 Кл каждый находятся в вершинах квадрата со стороной 20 см. Определите разность потенциалов в поле этих зарядов между центром квадрата и серединой одной из его сторон.
Дано: |
Решение: |
q= 10-6 Кл |
|
а=20 см=0,2 м |
|
|
|
φАО – ? |
|
Каждый заряд, находясь на своем месте, создает потенциал φ1. Результирующий потенциал в точке О определяется по принципу
16
суперпозиции, т.е. равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом: φ0=4φ1
Заряд отстоит |
|
от |
|
|
|
точки |
|
О |
|
|
на |
|
|
|
расстоянии |
|
r1 |
|
|
|
r |
, |
|
|
тогда потенциал, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
создаваемый им в этой точке, k |
q |
k |
q 2 |
|
, а |
|
4k |
q |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
a |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В точке А на середине одной из сторон |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2q |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 2 |
|
|
kq |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 5 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||
φА= φ1+φ2+ φ3+φ4= k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
a2 |
2 |
|
|
a |
|
|
a 5 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Разность потенциалов между точками А и О: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 2 |
|
4kq |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
AO |
kq( |
|
|
|
|
|
|
) |
(1 |
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a a |
5 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Вычисление: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
4 9 109 |
10 6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||
AO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
|
|
|
|
|
1,4) |
180 10 |
|
(1 0,446 1,4) 8,36 10 |
|
|
|
(В) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
0,2 |
|
|
|
|
|
2,24 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: разность потенциалов между точками А и О 8,36 кВ.
5. Шар, погруженный в масло, диэлектрическая проницаемость которого4 , имеет потенциал 4500 В и поверхностную плотность заряда 3, 4 10 6 Кл
см2 . Определить радиус, заряд, емкость и энергию электрического поля шара.
Дано: |
. |
4 , 3, 4 10 6 Кл
см2 3, 4 10 2 Кл
м2 , 4500 В , 0 8,85 10 12 Ф
м .
________________________________________________________
R ? q ? C ? W ?
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. Потенциал |
шара |
определяется |
по формуле: |
k |
q |
, где |
r R , |
||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
q S заряд, |
распределенный по поверхности шара, |
S 4 R2 площадь |
|||||||||||
поверхности шара. |
Таким образом, |
потенциал |
электрического |
поля: |
|||||||||
k |
4 R |
, откуда выразим радиус шара |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
4 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 k |
|
|
|
|
|
|
|||
2. Заряд шара: q 4 R2 .
3. Емкость шара: С q .
4. Энергия электрического поля шара: W q2 .
2C
17
Вычисление:
1. R |
4 8,85 10 12 4500 |
|
4, 7 10 6 м |
|||
|
3, 4 10 2 |
|||||
|
|
|
||||
2. q |
4 3,14 4, 7 10 6 2 |
3, 4 10 2 9, 4 10 12 Кл |
||||
3. С |
|
9, 4 10 12 |
2 10 15 |
Ф |
||
4500 |
||||||
|
|
|
|
|||
4. W |
9, 4 10 12 2 |
22 10 9 Дж |
|
2 2 10 15 |
|
Ответ: R 4,7 10 6 м , q 9, 4 10 12 Кл , С 2 10 15 Ф , W 22 10 9 Дж .
6. На бесконечном тонкостенном цилиндре, диаметром 10 см, равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью 2 мкКл
м2 . Определите напряженность электрического поля в точке, отстоящей от поверхности цилиндра на расстоянии 12 см.
Дано: |
Решение: |
d 10 cм 0,1 м
2 мкКл
м2 2 10 6 Кл
м2
R12 см 0,12 м
0 8,85 10 12 Ф
м
__________________________
E A ?
Построим вспомогательную поверхность (поверхность Гаусса) – цилиндр, проходящий через точку А, в которой необходимо определить напряженность электрического поля E A . Радиус цилиндрической
поверхности: r d2 R .
Найдем поток вектора напряженности электрического поля через
вспомогательную поверхность. |
|
|
|
||
E |
En dS EndS En1dS En2dS |
(1) |
|||
|
S |
SR |
S1 |
S2 |
|
Учтем, что силовые линии напряженности электрического поля создаваемого бесконечным цилиндром, перпендикулярны боковой поверхности цилиндра. А это значит, что En 2 нормальные составляющие вектора
18
напряженности электрического поля, на поверхностях оснований вспомогательной поверхности обращаются в нуль: En1 En2 0 .
Таким образом, последние два интеграла в (1) равны нулю и выражение для потока примет следующий вид:
E EndS E SR E 2 rh , |
(2) |
SR |
|
где SR 2 rh площадь боковой поверхности цилиндра, проходящего через точку А, r ее радиус.
Согласно теореме Остроградского-Гаусса
E EndS |
1 |
q |
(3) |
|
|
||||
S |
R |
0 SR |
|
|
|
|
|
|
|
Электрический заряд, заключенный внутри вспомогательной поверхности:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q S h d , |
(4) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где S площадь боковой поверхности заряженного цилиндра. |
|
|||||||||||||||||||||||
Приравниваем правые части уравнений (2) и (3) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E 2 rh |
hd |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
и выражаем напряженность электрического поля: |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
d |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2r |
|
0 |
d 2R |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверим размерность полученного выражения: |
|
|||||||||||||||||||||||
Кл |
м |
|
|
м |
Кл В |
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
E 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Ф м |
Кл |
м |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вычисление: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
E |
2 10 6 |
0,1 1012 |
66,5 кВ м . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8,85 0,1 2 0,12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ответ: |
величина |
напряженности |
электрического поля в |
точке А, |
||||||||||||||||||||
E A 66,5 кВ м . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечно длинной нитью. Двигаясь, под действием поля по силовой линии от точки, находящейся на расстоянии x1 1см от нити, до точки x2 4 см , частица изменила свою скорость от 2 105 м/с до 3 106 м/с. Определить линейную плотность зарядов на нити.
Дано: |
Решение: |
x1 0, 01 м |
|
x2 0, 04 м |
|
q 3, 2 10 19 |
Кл |
|
|
19
1 2 105 м
с2 3 106 м
с
m 6, 64 10 27 кг
0 8,85 10 12 Ф
м
__________________
?
частица – это ядро атома гелия, заряд которого q 2e 3, 2 10 19 Кл .
Силовые линии электрического поля, созданного заряженной нитью, перпендикулярны нити и вектор напряженности поля направлен от нити. При движении вдоль силовой линии кинетическая энергия частицы
увеличилась за счет работы кулоновских сил электрического поля: Wk |
Aкл |
|||||
|
m 2 |
|
m 2 |
q 1 2 , |
|
|
|
2 |
1 |
(1) |
|
||
2 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|||
где 1 , 2 потенциалы точек 1 и 2. Выразим зависимость потенциала поля от координаты x , и плотности распределения зарядов на нити.
Напряженность электрического поля связана с изменением потенциала
электрического поля соотношением: |
E |
d |
, откуда |
|
d x |
||||
|
|
|
||
d E x d x . |
(2) |
|||
Воспользуемся выражением для величины напряженности электрического поля заряженной нити, в зависимости от расстояния от нити до точки наблюдения поля:
E x |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
, |
(3) |
|
2 |
0 |
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
где линейная плотность заряда на нити. Подставим (2) в (1) и проинтегрируем полученное уравнение от точки 1 до точки 2:
x2 |
|
|
x2 |
d x |
|
|
|
|
|
1 2 E x d x |
|
|
|
ln |
x2 |
. |
|||
2 |
|
|
2 0 |
|
|||||
x |
0 x |
x |
|
x1 |
|||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Полученное выражение для разности потенциалов поля подставим в уравнение (1) и выразим искомую линейную плотность электрического заряда на нити:
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
m 2 |
|
m 1 |
|
q |
ln |
x2 |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
||||||||
2 |
m 2 |
2 |
|
|
|
|
|
x1 |
|
||||||
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
q ln |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Проверим размерность полученного выражения:
1 |
|
кг м2 Ф |
|
|
кг с4 А2 м2 |
|
|
А с |
|
|
Кл |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
.. |
|
Кл с |
2 |
|
А с с |
3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
м |
|
|
|
кг м |
|
|
м |
|
|
м |
||||||
20