Вертикальной плоскости; в — эпюра изгибающего момента в горизонтальной плоскости; г — эпюра крутящего момента; д — эскиз вала

 

3. Определяют опорные реакции:

в вертикальной плоскости

в горизонтальной плоскости

4. Изгибающие моменты М_и и их эпюры:

в вертикальной плоскости — в сечении А и С М_и.в = 0;

в сечении В (рис.11, б);

в горизонтальной плоскости — в сечении А и С М_и.г = 0;

в сечении В (рис.11, в).

5. Суммарный изгибающий момент в сечении В

(10)

6. Определяют крутящий момент и строят эпюру (см. рис.11, г):

(11)

где Р — мощность, Вт; — угловая скорость, рад/с.

7. По формуле (7) определяют эквивалентный момент, диаметр вала между опорами определяют по формуле

(12)

Полученное значение d округляют до ближайшего большего стандарт­ного.

8. Определяют диаметры под подшипниками d_on (рис.11, д) и округля­ют до большего стандартного значения.

 

 

Уточненный расчет валов (осей) на выносливость

После предварительных расчетов и конструктив­ного оформления валов (осей) фасонных конструкций, имеющих ряд сту­пеней, отверстий, канавок кольцевых и шпоночных и т. п., в ответствен­ных случаях производят уточненный (проверочный) расчет валов (осей) на усталостную прочность (на выносливость).

Усталостная прочность вала (оси) обеспечена, если соблюдается условие

, (13)

где s и [s] — фактический (расчетный) и допускаемый коэффициенты запа­са прочности для опасного сечения; (обычно [s] = 1,5...2,5; для валов пере­дач [s]> 1,7...3).

При расчете на усталостную прочность необходимо установить харак­тер цикла изменения напряжений. В большинстве случаев действительный цикл нагрузки машин в эксплуатационных условиях установить трудно. При расчете валов (осей) на усталостную прочность принимают, что на­пряжения изгиба изменяются по симметричному циклу (рис.12, а), а на­пряжения кручения — по пульсирующему (отнулевому) циклу (рис.12, б).

Рис.12. Циклы изменений напряжений в сечениях вала: а — симметричный цикл (напряже­ния изгиба);

б— отнулевой цикл (напряжения кручения)

 

Для опасных сечений определяют коэффициенты запаса сопротивления усталости и сравнивают их с допускаемыми. При одновременном действии напряжений изгиба и кручения коэффициент запаса сопротивления усталости определяют по формуле

(14)

где – коэффициент запаса сопротивления усталости по нормальным напряжениям при изгибе

, (15)

–коэффициент запаса сопротивления усталости по касательным напряжениям при кручении

(16)

В этих формулах и– пределы выносливости соответственно при изгибе и при кручении при симметричном цикле изменения напряжений. Это характеристики материала, которые выбираются по справочникам или по приближенным формулам:

,

;

и – амплитуды переменных составляющих циклов напряжений;

и _т – средние напряжения циклов соответственно при изгибе и кручении.

Согласно принятому условию (см. рис. 11), при расчете валов

; ; (17)

(18)

и — коэффициенты, учитывающие влияние асимметрии цикла напряжений на прочность вала соответственно при изгибе и при кручении. Эти значения зависят от механических характеристик материала.

Коэффициенты выбираются из ряда:

, МПа	550	750	1000
	0,05	0,075	0,10
	0	0,025	0,05

 

–коэффициент, учитывающий шероховатость поверхности вала. Его значение выбирают в интервале = 0,9 … 1,0;

–масштабные факторы для нормальных и касательных напряжений, выбираемые интерполированием по данным таблицы 2.

K_d – масштабный фактор, то есть коэффициент, учитывающий влияние размеров сечения вала на прочность (выбирают по справочникам в зависимости от диаметра и марки материала); K_F – фактор шероховатости поверхности (выбирают по справочникам в зависимости шероховатости поверхности и предела прочности стали);и – эффективные коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и кручении (выбирают по табл.1 в зависимости от вида концентратора в расчетном сечении и _в).

Сопротивление усталости можно значительно повысить, применив один из методов поверхностного упрочнения: азотирование, поверхностную закалку ТВЧ, дробеструйный наклеп, обкатку роликами и т.п. При этом можно получить увеличение предела выносливости до 50% и более. Чувствительность деталей к поверхностному упрочнению уменьшается с увеличением ее размеров.

Проверочный расчет осей на усталостную прочность ведут аналогично расчету валов при М_к = 0.

 

Таблица 1. Значения коэффициентов и

Размеры			при , МПа						при , МПа
t/r	r/d	500		700	900		500			700		900
Для ступенчатого перехода с канавкой
	0,01	1,35		1,40	1,45		1,30			1,30		1,30
	0,02	1,45		1,50	1,55		1,35			1,35		1,40
	0,03	1,65		1,70	1,80		1,40			1,45		1,45
	0,05	1,60		1,70	1,80		1,45			1,45		1,55
	0,10	1,45		1,55	1,65		1,40			1,40		1,45
	0,01	1,55		1,60	1,65		1,40			1,40		1,45
	0,02	1,80		1,90	2,00		1,55			1,60		1,65
	0,03	1,80		1,95	2,05		1,55			1,60		1,65
	0,05	1,75		1,90	2,00		1,60			1,60		1,65
	0,01	1,90		2,00	2,10		1,55			1,60		1,65
	0,02	1,95		2,10	2,20		1,60			1,70		1,75
	0,03	1,95		2,10	2,25		1,65			1,70		1,75
	0,01	2,10		2,25	2,35		2,20			2,30		2,40
	0,02	2,15		2,30	2,45		2,10			2,15		2,25
Для шпоночных пазов, выполненных фрезой
Концевой			1,60	1,90		2,15		1,40			1,70		2,00
Дисковой			1,40	1,55		1,70

 

Таблица 2. Коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения

Сталь		Диаметр вала, мм
		20	30	40	50	70	100
Углеродистая		0,92	0,88	0,85	0,82	0,76	0,70
		0,83	0,77	0,73	0,70	0,65	0,59
Легированная		0,83	0,77	0,73	0,70	0,65	0,59

 

Последовательность расчета валов и осей на усталостную проч­ность (выносливость).

1. Составляют расчетную схему.

2. Определяют силы, действующие на вал.

3. Определяют опорные реакции и строят эпюры изгибающих момен­тов в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, после чего вычисляют суммарный изгибающий момент.

4. Определяют крутящие моменты и строят эпюру (для валов).

5. По формуле (9а) определяют эквивалентный момент М_экв.

6. В соответствии с эпюрами моментов М_п, М_к и М_экв рассчитывают диаметры опасных сечений, подлежащих проверке на усталостную проч­ность.

7. Для каждого опасного сечения по формуле (13) определяют расчет­ные коэффициенты запаса прочности, а по формуле (14) оценивают вы­носливость.

8. При кратковременных перегрузках наиболее нагруженные сечения вала проверяют на статическую прочность (по теории энергии формоизме­нения):

(19)

 

Пример 2.

Опасным будем считать сечение вала, где возникают наибольшие изгибающие и крутящие моменты. В рассматриваемом примере таким сечением является сечение в опоре В (рис.13). Также, опасным может оказаться сечение под колесом.

Рис.13

 

Выбираем материал вала – сталь 40Х, термообработка – улучшение: =750 МПа,= 900 МПа. Тогда пределы выносливости материала вала определяются по эмпирическим зависимостям

,

;

эффективные коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и кручении в опасном сечении, которые выбираются по виду концентратора напряжений. Для рассматриваемого примера определим соотношение размеров: t/r=2,5/1,0=2,5; r/d=1/40=0,025. Учитывая, что для материала вала = 900 МПа, определим коэффициентыинтерполированием по данным таблицы 1.

;

–коэффициент, учитывающий шероховатость поверхности вала. Его значение выбирают в интервале = 0,9 … 1,0;

–масштабные факторы для нормальных и касательных напряжений, выбираемые интерполированием по данным таблицы 2. Для рассматриваемого примера ;

–амплитуды циклов напряжений, МПа;

–средние значения циклов напряжений, МПа;

–коэффициенты, учитывающие влияние среднего напряжения цикла на коэффициент запаса прочности.

Напряжения изгиба изменяются по симметричному циклу, поэтому амплитуда , МПа, и среднее значение цикла, МПа, равны

,

где – максимальный изгибающий момент, Нмм, в опасном сечении вала (см. эпюру изгибающих моментов, рис. 13,е);

–момент сопротивления сечения, мм³, который равен: для круглого сплошного сечения вала , а для сечения со шпоночным пазом

,

где – диаметр вала в опасном сечении.

Для рассматриваемого примера (опасное сечение вала – сплошное), поэтому амплитуда цикла , МПа, определится по формуле

.

Напряжения кручения при нереверсивном вращении вала изменяются по отнулевому циклу, поэтому амплитуда , МПа, и среднее значение цикла, МПа, равны

,

где – крутящий момент в опасном сечении вала, Нмм, (см. эпюру крутящих моментов, рис.13,ж);

–полярный момент сопротивления сечения, мм³, который равен: для круглого сплошного сечения вала , а для сечения со шпоночным пазом

,

где – диаметр вала, мм, в опасном сечении вала.

Для рассматриваемого примера (опасное сечение вала – сплошное), для которого

.

Для рассматриваемого примера коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям равны по формулам

;

.

Расчетный коэффициент запаса прочности равен по формуле

.

Расчетный коэффициент запаса прочности больше допускаемого по условию, значит, вал работоспособен. Практика расчетов показывает, что условие всегда выполняется.

 

 

Проверка статической прочности

Эту проверку выполняют с целью предупреждения пластических деформаций и разрушений при кратковременных перегрузках (например, пусковых и т. п.). При этом определяют эквивалентное напряжение по формуле

(20)

где

, (21)

Здесь М и Т – изгибающий и крутящий моменты в опасном сечении при перегрузке.

Предельное допускаемое напряжение [] принимают близким к пределу текучести_т:

(22)

 

 

Расчет осей и валов на жесткость ?

Рекомендации по конструированию валов и осей?

Пример 3.

Рассчитать тихоходный вал цилиндрического косозубого редуктора на статическую прочность. Схема нагружения валов на рисунках 1, 2.

Для расчета необходимы исходные данные, полученные в результате расчета передачи редуктора, а также должен быть произведен проектировочный расчет вала (т. е. определены все необходимые геометрические размеры вала).

Исходные данные:

Окружная сила

Радиальная сила

Осевая сила

Вращающий момент на валу

Диаметр делительной окружности колеса

Консольная нагрузка на вал .

Частота вращения вала 1/с.

Материал вала – сталь 45.

Эскизная проработка вала представлена на рисунке 3.

 

Решение.

На основании рис.15 и эскиза вала (рис.17) составляется расчетная схема, определяются опорные реакции, строятся эпюры изгибающих моментов икрутящего момента (рис.16).

Рис.15 Рис.16

1. Определим опорные реакции и строим эпюры в горизонтальной плоскости:

Проверка:

Изгибающие моменты в сечениях вала в горизонтальной плоскости:

2. Опорные реакции в вертикальной плоскости:

Проверка:

Изгибающие моменты в вертикальной плоскости:

Рис.17

 

3. Строим эпюру крутящего момента

4. Проверяем прочность в опасном сечении на валу: сечение Е – опасное (см. эпюры изгибающих и крутящих моментов).

где (рисунок 3).

= 50–70 МПа.

Так как , условие статической прочности выполняется.

 

Пример 4.

Проверить тихоходный вал цилиндрического косозубого редуктора на сопротивление усталости (рис.18).

Рис. 18

 

Решение.

1. Рассмотрим сечение вала, которое является концентратором напряжений – шпоночный паз (рис.19). Материал вала – сталь 45.

Рис.19

 

По диаметру вала под колесом по ГОСТ размеры шпонки (мм); – длина шпонки принимается в зависимости от длины ступицыколеса или ширинызубчатого венца. В данном случае (рис.18) они равны.

что соответствует ГОСТ; - глубина паза вала.

Для стали 45

2. Определяем коэффициент запаса прочности по сопротивлению усталости:

где – коэффициент запаса прочности – по нормальным напряжениям;

–коэффициент запаса прочности – по касательным напряжениям;

Коэффициенты концентрации напряжений

где ;;;;

где ;;;.

Предел выносливости в рассматриваемом сечении

.

.

Определим и

;

;

–условие прочности выполняется.

3. Определяем коэффициент запаса прочности в сечении, проходящем через т.В (напрессовка подшипника на вал).

Формулы для определения .

Для находим отношенияи.

–условие прочности выполняется.

 

Пример 5.

Рассчитать быстроходный вал конического прямозубого редуктора на статическую прочность (рис.20). Для расчета использовать эскиз вала-шестерни (рис.21).

Рис.20. 1 – набор прокладок; 2 – крышка сквозная с манжетой; 3 – стакан; 4 – корпус;

5 – регулировочная гайка

 

Исходные данные:

Окружная сила

Радиальная сила

Осевая сила

Консольная нагрузка на валу от соединительной муфты

Вращающий момент на валу

Допускаемое напряжение для стали 45

Средний делительный диаметр шестерни

–диаметр входного конца вала, мм;

–диаметр вала по уплотнение с крышкой, мм;

_–диаметр вала под регулировочную шлицевую гайку;

–диаметр вала под подшипник;

–длина участка вала на входе (зависит от посаженной детали: шкив, звездочка, полумуфта);

–под шкив;

–под полумуфту (зубчатое колесо);

–под звездочку.

 

Решение.

Ориентировочно принимаем

где – ширина подшипника,– расстояние между торцами подшипников,

–расстояние от середины длины зуба шестерни до торца подшипника.

ГОСТ 8752 – 79;

ГОСТ 11871 – 80; М 24 x 1,5;

(ориентировочно);

–длина участка под уплотнение с крышкой;

(ширина подшипника – принята ориентировочно в зависимости от).

С учетом зазоров и переходов с одного диаметра на другой примем

Рис. 21

 

На основании рис. 21 и эскиза вала составляем расчетную схему, определяем опорные реакции, строим эпюры изгибающих моментов и крутящего момента с учетом

Определяем опорные реакции и строим эпюру изгибающих моментов в вертикальной плоскости:

Проверка:

Определение изгибающих моментов:

2. Определяем опорные реакции, и построить эпюру изгибающих моментов в горизонтальной плоскости.

 

Рис. 22

 

Проверка:

Определить изгибающие моменты:

3. Строим эпюру крутящего момента:

4. Проверяем прочность вала в опасном сечении В. Расчет ведем по максимальным касательным напряжениям.

–условие прочности.

<

Условие статической прочности выполняется.

 

Пример 6.

Рассчитать быстроходный вал конического редуктора на сопротивление усталости (рис.23).

Рис. 23. 1 – набор прокладок; 2 – крышка сквозная с манжетой; 3 – стакан; 4 – корпус;

5 – регулировочная гайка

 

Решение.

Рассмотрим сечение вала В, как более нагруженное. Концентратором напряжений является напрессовка подшипника на вал (сечение В).

Материал вала – сталь 45 без упрочнения. Механические характеристики стали:

 

Коэффициент запаса прочности

гдекоэффициента запаса прочности по нормальным напряжениям,

коэффициента запаса прочности по касательным напряжениям

Определим

;

;

Определим

;

;

Определим коэффициент запаса прочности на усталостную выносливость:

>

Фактический коэффициент запаса прочности больше допускаемого, т.е. условие прочности выполнено

 

Пример 7.

Выполнить проектный расчет вала и его опор (см. рис.24): Т = 645 Нм, n = 200 мин^-1, ширина шестерни – 100 мм, диаметр шестерни d₁=200 мм (z = 40, m = 5), на выходном конце вала установлена упругая пальцевая муфта; материал вала - сталь 45, улучшенная,Срок службы длительный, нагрузка близка к постоянной, допускается двухкратная кратковременная перегрузка.

Рис.24

 

Решение.

Приближенно оцениваем средний диаметр вала при

Разрабатываем конструкцию вала и по чертежу оцениваем его размеры: диаметр в месте посадки шестерни диаметр в месте посадки подшипниковдиаметр в месте посадки муфты

Определяем допускаемую радиальную нагрузку на выходном конце вала, полагая, что редуктор может быть использован как редуктор общего применения:

Определяем силы в зацеплении:

Определяем реакции в опорах. Рассмотрим реакции от сил идействующих в вертикальной плоскости. Сумма проекций:Сумма моментовПри этом

Реакция от сил и, действующих в горизонтальной плоскости (прикладываем так, чтобы она увеличивала прогиб от- худший случай):

Определяем запасы сопротивления усталости в опасных сечениях. и.

Просчитываем два предполагаемых опасных сечения: сечение I - I под шестерней, ослабленное шпоночным пазом, и сечение II - II рядом с подшипником, ослабленное галтелью. Для первого сечения изгибающий момент

Крутящий момент

Напряжение изгиба:

Напряжение кручения:

Тогда

По таблицам и графикам для шпоночного паза для шлифовального вала

Приняв находим:

Тогда

Для второго сечения изгибающий момент

крутящий момент

Принимаем галтели равным 2 мм;r/d=0,04 и находим = 2;= 1,6 (по таблицам);

Больше напряжено второе сечение.

Проверяем статическую прочность при перегрузках. При перегрузках напряжения удваиваются и для второго сечения и;

Проверяем жесткость вала. По условиям работы зубчатого зацепления опасным является прогиб вала под шестерней. Средний диаметр участка l принимаем равным Здесь

Прогиб в вертикальной плоскости:

от силы

от момента М_а прогиб равен нулю.

Прогиб в горизонтальной плоскости от сил и:

Суммарный прогиб

Допускаемый прогиб

Таким образом, условия прочности и жесткости выполняются. По этим условиям диаметр вала можно сохранить.