Математическое моделирование электрических цепей

Электрическая цепь состоит из приборов, их контакты соединяются друг с другом в точках, которые называются узлами. Мы будем рассматривать приборы с двумя контактами. От узла к узлу через прибор течет электрический ток. Состояние электрического тока в любой момент времени характеризуется его силой (величиной), состояние узла характеризуется потенциалом φ. Обобщенный закон Ома:

Падение напряжения на приборе, соединяющем узлы A и B вычисляется по формуле:

U_AB = I_AB R = φ_A - φ_B + Е_AB

где I_AB – ток текущий через прибор от узла A к узлу B ( I_AB = - I_BA), R – сопротивление прибора, φ_A – потенциал узла A, φ_B - потенциал узла B, Е_AB – электродвижущая сила прибора. Если прибор содержит постоянный источник электродвижущей силы, то величина источника считается положительной в том случае, когда ток проходит от отрицательного полюса к положительному.

Первое правило Кирхгофа: сумма сил токов, втекающих в узел, равна сумме сил токов, вытекающих из узла. Это правило является следствием закона сохранения заряда.

Заряд, протекающий через прибор, связан с силой тока интегральным соотношением:

t

q_AB ( t ) = ∫ I_AB ( τ ) dτ,

t₀

где q_AB ( t ) - заряд, который прошёл через прибор от узла A к узлу B с момента времени t₀, когда включили ток, до момента времени t, I_AB ( τ ) - сила ток протекающего через прибор в момент времени τ. Если функция I_AB ( τ ) непрерывна, то

Электродвижущая сила катушки (без сердечника) вычисляется по формуле

E_AB ( t ) = -L ( I_AB ( t ))',

где L – коэффициент самоиндукции катушки. Заряд, накопленный конденсатором, пропорционален его электродвижущей силе:

q_AB ( t ) = -C E_AB ( t ),

коэффициент C называется электрической ёмкостью конденсатора.

Второе правило Кирхгофа: сумма падений напряжений вдоль любого замкнутого контура равна сумме электродвижущих сил приборов, образующих этот контур. Это утверждение вытекает из обобщёного закона Ома.

Колебательным контуром называется электрическая цепь, состоящая из источника электродвижущей силы, сопротивления, катушки и конденсатора, соединённых последовательно. Из первого правила Кирхгофа вытекает, что силы токов, протекающих через каждый прибор цепи в момент времен t, одинаковы. Обозначим это значение через I ( t ). Применяя второе правило Кирхгофа, получим систему дифференциальных уравнений:

R I ( t ) = E ( t ) - L ( I ( t ))' - q ( t ) / C,

( q ( t ))' = I ( t ).

(предполагается, что конденсатор идеальный, так что весь заряд, протекающий через конденсатор, накапливается в нём). Эта система эквивалентна одному уравнению:

L q''( t ) + R q' ( t ) + q ( t ) / C = E ( t ).

Если существует производная второго порядка функции I ( t ), то можно продифференцировать обе части уравнения и заменить производную заряда силой тока:

L I''( t ) + R I' ( t ) + I ( t ) / C = E' ( t ).