Задания для самостоятельной работы

1. Вычислите односторонние пределы:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6).

2. Для данных функций найти точки разрыва и исследовать их характер:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6).

3. Исследуйте на непрерывность функции:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6);

7) ; 8)в точке.

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение непрерывной функции.

2. Что называется точкой разрыва?

3. На какие два типа делятся точки разрыва? Дайте определение.

4. Какие пределы называются односторонними?

5. Какая точка называется точкой устранимого разрыва?

6. Какая точка называется точкой скачка? Что называется скачком?

Практическое занятие №9 Тема: Вычисление производных функций по определению производной

Цель: Формирование навыков вычисления производных функций по определению производной

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Производнойфункциив точке (производной первого порядка)называется предел отношения приращения функциик приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:.

Если этот предел конечен, то функция называетсядифференцируемойв точке; в противном случае (то есть если он не существует или равен бесконечности) –не дифференцируемой. В том случае, когда предел есть бесконечность, говорят, что функцияимеет в точкебесконечную производную.

Дифференциаломфункции(дифференциалом первого порядка)называется главная часть ее приращения, пропорциональная приращениюнезависимой переменной.

Дифференциал независимой переменнойравен ее приращению:

.

Дифференциал любой дифференцируемой функции равенпроизведению ее производной на дифференциал независимой переменной:

. (1)

Соотношение (1) остается в силе и тогда, когда есть функция другого аргумента – в этом заключаетсяинвариантностьформы первого дифференциала.

Из соотношения (1) получаем , то есть производная первого порядка функцииравна отношению первого дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента.

Пример

Задание:Пользуясь определением производной, найти производную и дифференциал функции. Вычислить.

Решение:Найдем приращение функции, соответствующее данному приращениюаргумента:

.

Тогда

и

.

По формуле (1) находим дифференциал функции:

.

Подставляя в выражение для значение, получим

.

Задания для самостоятельной работы

1. Найдите производные и дифференциалы от указанных функций, пользуясь непосредственно определением производной:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6);

7) ; 8); 9).

2. Дана функция . Найти.

3. Дана функция . Найти.

4. Дана функция . Найти, а затем вычислить,.

5. Дана функция . Найти,.

6. Дана функция . Найти,.

7. Дана функция . Показать, что.

8. Показать, что функция не дифференцируема в точке.

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение производной первого порядка.

2. Какая функция называется дифференцируемой? Какая функция называется не дифференцируемой?

3. Что называется дифференциалом первого порядка?

4. Сформулируйте определение дифференциала функции.

5. В чем заключается инвариантность формы первого дифференциала.

6. Сформулируйте общее правило нахождения производной функции.