Задания для самостоятельной работы

Вычислить пределы:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6);

7) ; 8); 9);

10) ; 11); 12);

13) ; 14); 15);

16) .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется пределом функции?

2. Каким образом определяется число ?

3. Сформулируйте основные теоремы вычисления пределов.

4. Запишите формулы соответствующие первому и второму замечательным пределам.

5. Какие приемы используются при раскрытии неопределенностей?

Практическое занятие №8 Тема: Вычисление односторонних пределов, классификация точек разрыва

Цель: Формирование навыков вычисления односторонних пределов, классификации точек разрыва

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Функция называетсянепрерывной в точке, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть.

Функция называетсянепрерывной в точке, если существует конечный предел функции в этой точке, который равен значению функции в точке, то есть.

Примером непрерывной функции может служить любая элементарная функция, которая непрерывна в каждой точке своей области определения.

Точка называетсяточкой разрывафункции, если эта функции определена в некоторой окрестности точки, но в самой точкене удовлетворяет условию непрерывности.

Точки разрыва функции делятся два типа. К точкам разрыва I родаотносятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние пределы:(левый предел) и(правый предел). Кточкам разрыва II родаотносятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

Заметим, что точки разрыва Iрода подразделяются в свою очередь наточки устранимого разрыва(когда) и наточки скачкафункции (когда); в последнем случае разностьназывается скачком функциив точке.

Пример

Задание 1:Вычислите односторонние пределы: 1);

2) .

Решение:1) Пусть. Тогда прифункция, а, следовательно, иесть отрицательная бесконечно малая, поэтому функция- отрицательная бесконечно большая, то есть.

При функция, а, следовательно, и- положительная бесконечно большая функция, то есть.

2) Пусть . Тогда приимеем:- отрицательная бесконечно малая функция; следовательно,и. Отсюда.

Если , то приполучим:- положительная бесконечно малая функция; следовательно,и, тогда. Имеем,.

Задание 2:Даны функции: 1); 2). Найти точки разрыва и исследовать их характер.

Решение:1) Функцияопределена при всех значениях, кроме. Так как эта функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения, состоящей из двух промежуткови.

Следовательно, единственной точкой разрыва является точка (функция определена в окрестности этой точки, в самой же точке нарушается условие непрерывности – функция в ней неопределена). Для исследования характера разрыва найдем левый и правый пределы этой функции при стремлении аргумента к точке разрыва:,.

Следовательно, при функцияимеет бесконечный разрыв;есть точкаIIрода.

2) Рассуждая аналогично, получим, что точкой разрыва заданной функции является . Найдем односторонние пределы этой функции в точке:,.

Таким образом, левый и правый пределы исследуемой функции при конечны, но не равны между собой. ПоэтомуточкаIрода, причем точка скачка функции.