Примеры

Задание 1:Найти сумму и разность матрици.

Решение:Здесь даны матрицы одного размера, следовательно, существуют их сумма и разность. Согласно определению алгебраической суммы матриц имеем

,

.

Задание 2:Вычислить определители: 1); 2).

Решение:1) По формуле (1) находим.

2) Разлагая данный определитель, например, по элементам первой строки, находим

.

Тот же результат получится, если воспользоваться формулой (2):

.

Задания для самостоятельной работы

1. Найдите сумму матриц и.

2. Транспонируйте матрицу . Укажите размеры данной и транспонированной матриц.

3. Даны матрицы: ,. Произведите указанные действия, а в случае, когда это невозможно, указать причину: 1);

2) .

4. Даны матрицы и. Найдите матрицу.

5. Вычислите определители второго порядка: а) ;

б) .

6. Вычислите определители третьего порядка: а) ;

б) .

7. Вычислите определитель четвертого порядка .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется матрицей? Как установить размеры матрицы?

2. Назовите линейные операции над матрицами. Как они производятся?

3. Какие матрицы можно перемножать? Как это делается?

4. Что называется определителем? Как вычисляются определители второго и третьего порядков?

5. Что называется минором и алгебраическим дополнением для произвольного элемента определителя?

Практическое занятие №2 Тема: Нахождение обратной матрицы

Цель: Формирование навыков нахождения обратной матрицы.

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Матрица, состоящая из строк истолбцов, называетсяквадратной матрицей порядка :

.

Элементы образуют главную диагональ матрицы.

У единичной матрицы порядкаэлементы главной диагонали равны единицы, а остальные элементы равны нулю:то есть

.

Для - матриц справедливы равенства.

Каждой - матрицесоответствует определитель-го порядка, который состоит из тех же элементов, расположенных в том же порядке, что и в матрице:

.

Произведение двух квадратных матриц всегда определено; при этом определитель матрицы – произведения равен произведению определителей матриц – сомножителей: .

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля , ивырожденной в противном случае .

Всякая невырожденная матрица порядкаимеетобратную матрицу того же порядка , удовлетворяющую соотношениям

.

Обратная матрица имеет вид

,(1)

где - алгебраическое дополнение элементав определителематрицы, то есть элементы обратной матрицы находятся по формулам.

Свойства обратной матрицы

(здесь - матрицы,- число)

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Пример

Задание: Для матрицынайти обратную матрицу и проверить, что .

Решение:Так как, томатрица имеет обратную матрицу, элементы которой равны.

2) Вычислим алгебраические дополнения элементовдля:

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Теперь, используя формулу (1), находим обратную матрицу

.

Далее вычислим произведение

=

=.

Аналогично находим

. Итак, обратная матрица вычислена правильно.

Задания для самостоятельной работы

1. Для заданной матрицы найти указанные элементы обратной матрицы: 1); 2); 3);

4) ; 5); 6).

2. Для матриц инайдите обратные матрицы,и. Проверить, верно, ли они найдены.

Вопросы для самоконтроля:

1. Какая матрица называется квадратной?

2. Какая матрица называется единичной, верхнетреугольной, нижнетреугольной, диагональной?

3. Дайте определение обратной матрицы. Всегда ли существует обратная матрица?

4. Как найти обратную матрицу?

Практическое занятие №3

Тема: Решение систем алгебраических уравнений по правилу Крамера и матричным методом

Цель: Формирование навыков решения СЛАУ по правилу Крамера и матричным методом.

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Пример

Задание:Показать, что система имеет единственное решение и найти его двумя способами: а) по правилу Крамера;

б) матричным методом.

Решение:Данная система имеет размер(три уравнения и три неизвестных). Составим матрицуиз коэффициентов при неизвестных:

. Матрица квадратная. Вычислим определитель матрицы, используя формулу его разложения по элементам первой строки:

.

Так как определитель системы , то данная система имеет единственное решение. Это решение можно найти по правилу Крамера:;;, где- главный определитель системы;,,- вспомогательные определители, которые получаются из главного путем замены соответствующего столбца на столбец свободных членов, и вычисляются аналогично определителю.

;

;

Отсюда по правилу Крамера имеем:

; ;

.

Решение системы единственно, это совокупность чисел .

Проверка:Подставим найденное решение во все уравнения исходной системы линейных алгебраических уравнений.

Так как все уравнения системы обратились в равенства, то решение найдено верно.

Ответ:.

Решим данную систему матричным способом. Рассмотрим матрицы:

; ;;

- матрица коэффициентов при неизвестных, - матрица – столбец неизвестных,- матрица – столбец свободных членов.

Данную систему можно записать в виде:

;

При умножении матриц каждая строка матрицы умножается на столбец матрицыи в результате получается соответствующий элемент матрицы. Таким образом, последняя матричная запись содержит все три уравнения данной системы линейных алгебраических уравнений. Коротко ее можно записать так:

(1)

Рассмотрим матрицу , обратную к матрице. Это такая матрица, которая при умножении на данную матрицудает единичную матрицу:, где.

Умножая обе части матричного равенства (2) на матрицу слева, получим:

,

, и окончательно имеем:

(2)

Формула (2) используется для нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений. Предварительно нужно вычислить обратную матрицу. Обратная матрица вычисляется по формуле: (3), где- алгебраическое дополнение всех элементов матрицы,

- главный определитель системы .

В нашем примере .

Найдем теперь алгебраические дополнения для всех элементов матрицы :

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируем ее, то есть поменяем местами столбцы и строки с одинаковыми номерами:

.

Обратную матрицу получим по формуле (3), умножая каждый элемент последней матрицы на число, равное :

.

Решение системы линейных алгебраических уравнений находим по формуле (2) умножением матрицы на матрицу свободных членов:

=

Отсюда следует, что ,,.

Найденное решение было проверено выше, и совпадает с результатом, полученным по правилу Крамера.

Ответ:- единственное решение системы.