Примеры

Задание 1:Найдите общее решение уравнения.

Решение:Разделив переменные, имеем. Интегрируем обе части полученного уравнения:

; .

Так как произвольная постоянная может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместомы написали. Потенцируя последнее равенство, получим.

Это и есть общее решение данного уравнения.

Задание 2:Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиямпри.

Решение:Разделив переменные, имеем. Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

; ,

или

,.

Это общее решение данного уравнения. Для нахождения значения произвольной постоянной подставим значенияив выражение для общего решения:, или, откуда.

Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, имеет вид .

Задание 3:Найдите общее решение уравнения.

Решение:Это линейное уравнение: здесь,. Положими продифференцируем это равенство по:

.

Подставив теперь выражения для ив данное уравнение, получим

,

или

. ()

Так как одну из вспомогательных функций илиможно выбрать произвольно, то в качествевозьмем одно из частных решений уравнения. Разделив в этом уравнении переменные и проинтегрируя, имеем,;,(произвольную постояннуюпринимаем равной нулю, так как находим одно из частных решений).

Подставим теперь выражение для в уравнение (); тогда получим уравнение, или.

Отсюда находим ;.

Зная и, теперь получим общее решение данного уравнения:

.

Задания для самостоятельной работы

1. Найдите общее решение уравнений:

1) ; 2); 3);

4) ; 5);

6) ; 7);

8) .

2. Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

1) ;при;

2) ;при;

3) ;при;

4) ;при;

5) ;при;

6) ;при;

7) ;при.

3. Найдите общие решения уравнения:

1) ; 2);

3) ; 4);

5) ; 6).

Вопросы для самоконтроля:

1. Какое уравнение называется дифференциальным?

2. Что называется решением дифференциального уравнения?

3. Какое решение дифференциального уравнения называется общим?

4. Какое решение дифференциального уравнения называется частным?

5. Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями первого порядка?

6. Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями с разделяющимися переменными?

Практическое занятие №21

Тема: Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Цель: Формирование навыков решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Уравнение, содержащее производные (или дифференциалы) не выше второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка. В общем виде уравнение второго порядка записывается следующим образом:

.

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентаминазывается уравнение вида:

, (1)

где и- постоянные величины.

Для отыскания общего решения уравнения (1) составляется характеристическое уравнение

, (2)

которое получается из уравнения (1) заменой ,ина соответствующие степени, причем сама функциязаменяется единицей.

Тогда общее решение дифференциального уравнения (1) строится в зависимости от корней ихарактеристического уравнения (2). Здесь возможны три случая.

Iслучай: Корнии- действительные и различные. В этом случае общее решение уравнения (1) имеет вид

. (3)

IIслучай: Корнии- действительные и равные:. Тогда общее решение уравнения (1) записывается так:

. (4)

IIIслучай: Корнии- комплексно – сопряженные:,. В этом случае общее решение уравнения (1) записывается следующим образом:

. (5)