Задания для самостоятельной работы

1. Найти частные производные следующих функций:

1) ; 2);

3) ; 4); 5);

6) ; 7); 8);

9) ; 10); 11);

12) ; 13).

2. Найти полные дифференциалы заданных функций:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6);

7) ; 8)9).

3. Вычислить значения полных дифференциалов функций:

1) при,,,;

2) при,,,;

3) при,,,;

4) при,,,,,.

4. Проверить, что функция удовлетворяет уравнению.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется частной производной функции по аргументу?

2. Что называется частной производной функции по аргументу?

3. Дайте определение полного дифференциала функции в некоторой точке.

4. В чем заключается свойство инвариантности полного дифференциала первого порядка?

Практическое занятие №18

Тема: Вычисление двойных интегралов

Цель: Формирование навыков вычисления двойных интегралов

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Пусть в некоторой ограниченной замкнутой области плоскостизадана непрерывная функция, где точка. Разобьем эту область произвольным образом начастичных плоских ячеек, имеющие площади. В каждой такой ячейке выберем по одной произвольной точкеи вычислим значения функцииво взятых точках. Составим так называемуюинтегральную суммуфункциипо области:

. (1)

Двойным интеграломот функциипо областиназывается предел интегральной суммы (1) при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех ячеек данного разбиения:

(2)

Диаметромфигурыназывается наибольшее из расстояний между ее точками.

Основные свойства двойного интеграла

1. Двойной интеграл по области от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых функций по этой же области:

.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла:

.

3. Область интегрирования двойного интеграла можно разбить на части, то есть если область состоит из двух непересекающихся областейи, то

.

Примеры

Задание 1:Вычислить повторный интеграл.

Решение:Вычислим сначала внутренний интеграл по переменной, считаяпостоянным:

.

Задание 2:Вычислить двойной интегралпо области, ограниченной прямыми,,и.

Решение:Областьявляется простой относительно осейи(рис. 1), поэтому для вычисления интеграла можно использовать любую из формулили. Сначала вычислим двойной интеграл по первой формуле:. Вычислив внутренний интеграл по переменнойпри постоянном, находим

. Подставив это выражение во внешний интеграл, получим .

Теперь вычислим двойной интеграл по второй формуле . Найдем внутренний интеграл:. Далее найдем внешний интеграл:, то есть получили тот же ответ.

Задания для самостоятельной работы

1. Вычислить повторные интегралы:

1) ; 2);

3) ; 4);

5) ; 6).

2. Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями:

1) ,,;

2) ,,;

3) ,,,,;

4) ,,,;

5) ,,;

6) ,,,.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется интегральной суммой функции в области?

2. Дайте определение двойного интеграла.

3. Перечислите основные свойства двойного интеграла.

4. Какие случаи расположения области относительно осей координат возникают при вычислении двойных интегралов? Запишите формулы вычисления двойных интегралов для каждого из этих случаев.

5. Какие интегралы называются повторными или двукратными?