Вычислительная математика131006

Задание. Приведите пример системы, математическая модель которой представляет собой квадратное уравнение. Исследуйте эту модель аналитическими методами. Решите уравнение в среде MATLAB.

РЕШЕНИЕ КУБИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В СРЕДЕ MATLAB

Задание. Составьте и решите несколько кубических уравнений.

Задание. Приведите пример системы, математическая модель которой представляет собой кубическое уравнение. Исследуйте эту модель аналитическими методами. Решите уравнение в среде MATLAB.

РЕШЕНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНОГО УРАВНЕНИЯ В СРЕДЕ MATLAB

Пример. Требуется решить уравнение exp ( x ) = 2

Решение. Преобразуем уравнение так, чтобы в его правой части стоял 0: exp ( x ) - 2 = 0. Запускаем среду MATLAB. В командной строке вызываем функцию fzero:

>> fzero ( @(x) exp ( x ) - 2, 0)

Первый аргумент функции fzero описывает функцию, стоящую в левой части уравнения ( exp ( x ) - 2 ) и называет её аргумент (это делает конструкция @(x)). Второй аргумент функции fzero – начальное приближение. Метод решения уравнения похож на известный метод касательных, решение представляет собой результат последовательности итераций. На экране появляется ответ:

ans=

0.6931

(это приближённое значение натурального логарифма числа 2). Выбирая в качестве начальных приближений числа 1, 5, 10, 100 мы получим тот же ответ. Если ввести

>> fzero(@(x) exp ( x ) - 2, 1000)

то среда сообщает:

Error using ==> fzero

Function value at starting guess must be finite and real:

Ошибка в ходе использования fzero. Значение функции в точке начального приближения должно быть конечным и вещественным.

Среда воспринимает значение exp (1000) как бесконечное.

Задание. Составьте и решите с помощью функции fzero несколько квадратных уравнений. Опишите поведение среды при различных значениях начального приближения.

Задание Оцените наименьшее значение числа k для которого уравнение exp ( x ) = k x. имеет решение. Объясните вашу стратегию поиска числа k.

Если известно, что значения функции f ( x ) в точках a, b имеют разные знаки, то корень уравнения f ( x ) = 0, лежащий между a и b находят с помощью вызова функции fzero, вторым аргументом которой служит массив [ a, b].

Задание. Найдите корни нескольких трансцендентных функций, которые принимают значения противоположных знаков на концах числовых интервалов.

Задание. Приведите пример системы, математическая модель которой представляет собой трансцендентное уравнение. Исследуйте эту модель аналитическими методами. Решите уравнение в среде MATLAB.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«тюменский государственный нефтегазовый университет»

ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ

Кафедра кибернетических систем

Направление 220400 – Управление в технических системах

ОТЧЁТ О ВЫПОЛНЕННОЙ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №2

ПО ДИСЦИПЛИНЕ "ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ"

ТЕМА. ПРИБЛИЖЁННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Выполнил Иванов А. Б., группа ....

___________

Проверил Ковалёв П. И.

Тюмень 2013

Цель лабораторной работы №2.

Овладение навыками исследования детерминированных систем с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений в среде MATLAB.

Пример. Исследование падения частицы под действием постоянной силы тяжести в безвоздушном пространстве.

Задание

Частица (материальная точка) падает вертикально вниз в безвоздушном пространстве под действием постоянной силы тяжести. Постройте и исследуйте математическую модель системы.

Решение задачи

Система состоит из частицы, падающей в безвоздушном пространстве. На неё действует сила притяжения Земли.

Выберем систему координат так, чтобы плоскость Oxy совпадала с поверхностью Земли, ось Oz была направлена вертикально вверх.

Состояние системы в момент времени t описывается её скоростью v ( t ).

Параметры системы:

m – масса частицы;

0. g – ускорение свободного падения.

2. Начальное значение: скорость частицы в момент времени t = 0 равна v₀.

4. В силу второго закона Ньютона произведение массы частицы на её ускорение совпадает с равнодействующей всех сил, приложенных к частице, сила притяжения Земли пропорциональна массе частицы, коэффициент пропорциональности равен ускорению свободного падения:

6. m dv / dt = - m g (1)

0. (знак 'минус' в правой части указывает, что сила тяжести направлена вниз). Преобразуем уравнение (1) в нормальную форму:

dv / dt = - g (2)

Примечание. Нормальная форма дифференциального уравнения первого порядка имеет вид: dy / dt = f ( t, y ), где y = y ( t ) - неизвестная функция аргумента t.

Дифференциальное уравнение (2) вместе с начальным условием v ( 0 ) = v₀ образует задачу Коши:

dv / dt = - g

v ( 0 ) = v₀ (3)

0. Решение задачи Коши в среде MATLAB.

2. Присвоим параметрам и начальным значениям, входящим в уравнения и начальные условия, следующие числовые значения:

4. >> g = 9.82 % м/с2

5. >> v0 = 1 % м/с

8. Примечание. Знак '%' отделяет команду от комментария.

10. Для решения задачи Коши вызовем в командной строке среды MATLAB функцию ode45:

12. >> ode45 (@(t, v) - g, [ 0, 20 ], v0)

0. Первый аргумент функции ode45 задаёт функцию, стоящую в правой части дифференциального уравнениия ( f ( t, v ) = - g ) и указывает её аргументы – t и v. В нашем случае независимая переменная t и неизвестная функция v не входят явно в правую часть дифференциального уравнения. Второй аргумент функции ode45 задаёт интервал, на котором среда должна искать значения неизвестной функции, третий аргумент – значение неизвестной функции в левом конце интервала.

На экране должен появиться график изменения скорости частицы со временем.

Решите задачу, изменяя параметры системы и начальное условие.

Вывод

Скорость частицы, двигающейся вдоль вертикальной оси в безвоздушном пространстве, с течением времени линейно возрастает.

Исследование движения шарика, вдоль вертикальной оси под действием постоянной силы тяжести.

0. Задание. Шарик двигается вдоль вертикальной оси Oz под действием постоянной силы тяжести, сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости шарика. Постройте и исследуйте математическую модель системы.

2. Силу сопротивления воздуха вычисляем по формуле Стокса:

0. F = - 6 π η r v,

где:

π – число пи, в среде MATLAB оно обозначается символом pi;

η – коэффициент внутреннего трения (вязкости) среды;

r – радиус шарика;

0. v – скорость шарика;

1. знак минус указывает, что сила сопротивления среды направлена противоположно скорости шарика.

Коэффициент вязкости воздуха составляет 17.2 · 10^-6 Па · с.

0. Масса шарика равна 4 π r³ ρ / 3, где ρ – плотность материала, из которого изготовлен шарик. Плотность берёзы составляет 700 кг/м3, плотность алюминия - 2700 кг/м3, плотность стали - 7800 кг/м3.

2. Исследование движения шарика в воде вдоль вертикальной оси под действием постоянной силы тяжести

4. Задание. Шарик двигается в воде вдоль вертикальной оси Oz под действием постоянной силы тяжести, сила сопротивления воды пропорциональна скорости шарика. Постройте и исследуйте математическую модель системы.

Коэффициент вязкости воды равен 0.00105 Па · с.

На шарик действует сила Архимеда, выталкивающая его из воды, она равна 4 π r³ ρ₁ g / 3, g – ускорение свободного падения, ρ₁ - плотность воды, ρ₁ = 1000 кг/м³.

Исследование движения частицы, на которую действует возвращающая сила (гармонического осциллятора)

0. Задание. Частица (материальная точка) двигается без трения вдоль горизонтальной оси Ox под действием возвращающей силы, пропорциональной расстоянию частицы от начала координат. Постройте и исследуйте математическую модель системы.

Состояние системы в момент времени t описывается её абсциссой x = x ( t ), величина действующей на неё возвращающей силы равна c x, c – числовой коэффициент. В силу второго закона Ньютона

m d² x / dt² = - c x

(знак минус указывает, что возвращающая сила направлена от частицы к началу координат). Чтобы преобразовать это уравнение в нормальную форму используем переменные x₁, x₂:

0. x₁ обозначает абсциссу частицы, а x_{2 –} её скорость. Уравнение движения частицы превращается в систему уравнений:

dx₁ / dt = x₂

0. dx₂ / dt = - c x₁ / m.

Правую часть системы уравнений можно представить в виде вектора-столбца. Вызываем функцию ode45:

>> ode45 (@( t, x ) [ x ( 2 ); - c x ( 1 ) / m ], [ 0, 20 ], [ x0, v0 ])

Начальное условие для дифференциального уравнения второго порядка включает два значения: начальной координаты и начальной скорости частицы. После выполнения команды на экране появляется окно, в котором графики координаты и скорости совмещены на одной схеме. Чтобы вывести отдельно график координаты надо выполнить следующие команды:

>> [ T, x ] = ode45 (@( t, x ) [ x ( 2 ); - c x ( 1 ) / m ], [ 0, 20 ], [ x0, v0 ]);

>> plot ( T, x ( : , 1 ))

1. график скорости строит другая команда:

>> plot ( T, x ( : , 2 ))

Нелинейное уравнение Ван-дер-Поля

Задание. Исследуйте протекание процесса, который описывается нелинейным уравнением Ван-дер-Поля

d²y / dt² = - y + k ( 1 – y² ) dy / dt

0. y = y ( t ) - функция, характеризующая состояние системы, k – параметр.

2. Определите при каких значениях параметра k решение уравнения Ван-дер-Поля является периодическим. Для решения уравнения Ван-дер-Поля лучше воспользоваться функцией ode15s.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«тюменский государственный нефтегазовый университет»

ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ

Кафедра кибернетических систем

Направление 220400 – Управление в технических системах

ОТЧЁТ О ВЫПОЛНЕННОЙ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 3

ПО ДИСЦИПЛИНЕ "ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ"

ТЕМА. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Выполнил Иванов А. Б., группа ....

___________

Проверил Ковалёв П. И.

Тюмень 2013

Цель лабораторной работы № 3.

Овладение навыками решения алгебраических и трансцендентных уравнений в среде MATLAB.

Задание.

0. Составьте и решите систему линейных уравнений среде MATLAB.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В СРЕДЕ MATLAB

Решение системы линейных уравнений с невырожденной матрицей системы в среде MATLAB

0. Пример. Чтобы решить систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

2 x + 4 y + 5 z = 4

4 x + 6 y + 8 z = 9

7 x + y + 6 z = 6

введём в командной строке среды MATLAB следующие команды:

>> A = [ 2, 4, 5; 4, 6, 8; 7, 1, 6 ]

(переменной A присвоено значение матрицы системы)

>> B = [ 4; 9; 6 ]

(переменой B присвоено значение столбца свободных членов)

>> X = A \ B

(команда вычисляет столбец неизвестных):

>> A = [ 2, 4, 5; 4, 6, 8; 7, 1, 6 ]

A =

2 4 5

4 6 8

7 1 6

>> B = [ 4; 9; 6 ]

B =

4

9

6

>> X = A \ B

X =

7.8333

9.1667

-9.6667

0. Обратите внимание на то, что в матрице системы элементы одной строки отделяются друг от друга запятыми, тогда как элементы разных строк отделяются друг от друга точкой с запятой; элементы столбца свободных членов отделяются друг от друга точкой с запятой.

Проверка

В командном окне среды MATLAB вводим команду

>> A * X - B

На экране должен появиться появляется столбец, состоящий из нулей.:

ans =

0

0

0

Задание

Составьте и решите систему линейных уравнений. Количество уравнений указывает преподаватель.

Решение системы линейных уравнений с вырожденной матрицей системы в среде MATLAB

Квадратная матрица называется вырожденной , если её определитель равен нулю. Если две строки квадратной матрицы совпадают или их соответствующие элементы пропорциональны, то матрица вырождена.

Задание. Составьте систему n линейных уравнений с n неизвестными, матрица которой вырождена, причём система имеет решение <значение n указывает преподаватель>. Попытайтесь решить её в среде MATLAB. Включите в отчёт описание поведения среды MATLAB.

Задание. Составьте систему n линейных уравнений с n неизвестными, матрица которой вырождена, причём система не имеет решений <значение n указывает преподаватель>. Попытайтесь решить её в среде MATLAB. Включите в отчёт описание поведения среды MATLAB.

Пример системы трёх линейных уравнений, множество решений которой бесконечно:

x + 2 y + 3 z = 4

x + 2 y + 3 z = 4

5 x + 6 y + 7 z = 8

Пример системы трёх линейных уравнений, которая не имеет решений:

x + 2 y + 3 z = 4

x + 2 y + 3 z = 14

5 x + 6 y + 7 z = 8

Задание. Приведите пример системы, математическая модель которой представляет собой систему линейных алгебраических уравнений. Исследуйте эту модель аналитическими методами. Решите систему уравнений в среде MATLAB.