I. Системи із сталими запізненнями

Диференціальні рівняння з ланками запізнення виду

(1.1)

Розроблений критерій Михайлова, який по величині кута повороту радіуса-вектора годографа функціїпри змініна півосідає висновок про стійкість розв'язків відповідного диференціального рівняння (без запізнень), який вдається застосувати й до рівнянь із запізненнями. За допомогою теореми про незалежність зміни аргументу при русі вздовж кривої — частині замкненого контуру, в середині якого немає коренів (принцип аргументу з теорії функцій комплексної змінної), при виборі контуру з діаметром на осі ординат півкруга з центром в точці О й півколом у правій півплощині, показуємо, що в разі асимптотичної стійкості (коли немає коренів в цьому півкрузі при великому його радіусу), описаний кутповороту годографа повинен дорівнювати[3,c.31-33]

Враховуючи, що за формулою Ейлера , під знаками синуса та косинуса матимемо аргумент, який необмежено зростає при. Можна запропонувати, встановивши стійкість системи з коефіцієнтами, відійти від 1 на таке мале, яке показує близькість числадо, й встановлювати кут повороту годографа квазімногочленуна відрізку, близькість числадоі в цьому випадку.

1.1. Нефінитизовані диференціальні рівняння зі ланками запізнення

Розглянемо диференціальне рівняння виду

. (1.1.1)

Шукаємо розв'язок рівняння (1) у вигляді .

Отримаємо характеристичне рівняння ( — стале запізнення):

Сократимо (2) на та спростимо його:

Для того щоб розглянути нефінітизований годограф, необхідно перейти до заміні

Скористаємося для цієї рівності формулою Ейлера: :

Або:

Відокремимо дійсну та уявну частину, ввівши таку заміну:

Після такої заміни можна побудувати нефінітизований годограф при

Приклад 1:

Для диференціального рівняння побудувати нефінітизований годограф при.

Розв’язання

◄ 1. Шукаємо розв'язок рівняння у вигляді .

Отримаємо характеристичне рівняння

2. Поділимо рівняння на та спростимо його:

3. Перейдемо до заміні

4. Скористаємося для цієї рівності формулою Ейлера:

5. Введемо заміну, відокремивши уявну та дійсну частину:

6. Побудуємо нефінітизований годограф:

Рис. 1.1.1. Стійкий нефінітизований годограф

Маємо стійке диференціальне рівняння з запізненнями.►

Приклад 2:

Для диференціального рівняння побудувати нефінітизований годограф при

Розв’язання

◄ 1. Шукаємо розв'язок рівняння у вигляді .

Отримаємо характеристичне рівняння

2. Перейдемо до заміні , при

2. Скористаємося для цієї рівності формулою Ейлера:

2. Введемо заміну, відокремивши уявну та дійсну частину:

2. Побудуємо нефінітизований годограф:

Рис.1.1.2. Стійкий нефінітиозваний годограф

Маємо стійке диференціальне рівняння з запізненнями. ►

Приклад 3:

Для диференціального рівняння

побудувати нефінітизований годограф при

Розв’язання

◄ 1. Шукаємо розв'язок рівняння у вигляді .

Отримаємо характеристичне рівняння

2. Перейдемо до заміні , при

2. Скористаємося для цієї рівності формулою Ейлера:

2. Введемо заміну, відокремивши уявну та дійсну частину:

2. Побудуємо нефінітизований годограф:

Рис.1.1.3. Стійкий нефінітиозваний годограф

Маємо стійке диференціальне рівняння з запізненнями.►

Приклад 4:

Для диференціального рівняння побудувати нефінітизований годограф при

Розв’язання

◄ 1. Перейдемо до характеристичного рівняння

2. Перейдемо до заміні , при

2. Скористаємося для цієї рівності формулою Ейлера:

2. Введемо заміну, відокремивши уявну та дійсну частину:

2. Побудуємо нефінітизований годограф:

Рис.1.1.4. Стійкий нефінітиозваний годограф

Маємо стійке диференціальне рівняння з запізненнями. ►