1.2. З а д а ч і

Задача №1. На площині дано 2 вектори і. Довести, що векториіутворюють базис площини і знайти координати векторау базисі:

1. ;	11. ;	21. ;
2. ;	12. ;	22. ;
3. ;	13. ;	23. ;
4. ;	14. ;	24. ;
5. ;	15. ;	25. ;
6. ;	16. ;	26. ;
7. ;	17. ;	27. ;
8. ;	18. ;	28. ;
9. ;	19. ;	29. ;
10. ;	20. ;	30. .

Задача №2. Чи колінеарні вектори і, побудовані за векторамиі:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

Задача №3. Обчислити кут між векторами і, якщоі - одиничні взаємно-ортогональні вектори :

1. ;	16. ;
2. ;	17. ;
3. ;	18. ;
4. ;	19. ;
5. ;	20. ;
6. ;	21. ;
7. ;	22. ;
8. ;	23. ;
9. ;	24. ;
10. ;	25. ;
11. ;	26. ;
12. ;	27. ;
13. ;	28. ;
14. ;	29. ;
15. ;	30. .

Задача №4. Чи компланарні три вектори ,,:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

Задача №5. Знайти довжини ідіагоналей і площуS паралелограма, побудованого на векторах і:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

Задача №6. Довести, що вектори ,,утворюють базис і знайти координати векторау цьому базисі:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28 ;

29. ;

30. .

2. Геометрія площини

2.1. Теоретичні відомості

Рівняння прямої за точкою і напрямляючим вектором має вигляд або ; параметричні рівняння – ; за відрізками, що їх відтинає пряма на осях координат, – (на осі ) та (на осі ): за точкою і нормальним вектором ; за точкою і кутовим коефіцієнтом : за кутовим коефіцієнтом і відрізком , який відтинає пряма на осі , –

Якщо три точки лежать на одній прямій, то простим відношенням трьох точок називається число – у такому відношенні точка ділить відрізок . Координати точки виражаються через координати точок і число за формулами:

і .

Якщо точка – середина , то і ; .

Якщо рівняння прямої то координати напрямляючого вектора – нормального –

Відстань між двома точками відстань від точки до прямої  – .

Кут між двома прямими і обчислюється за формулою

дві прямі перетинаються, якщо коефіцієнти при змінних не пропорційні . Якщо , то прямі паралельні; якщо , то – співпадають.

Якщо в рівнянні прямої ;

1. , то пряма паралельна осі ;

2. –паралельна осі ;

3. –проходить через початок координат.

Рівняння еліпса: , якщо , то фокуси знаходяться на осі і директриси паралельні осі ; якщо , то фокуси знаходяться на осі і директриси паралельні осі . Розглянемо випадок, коли . Покладемо , тоді координати фокусів ; ексцентриситет , рівняння директрис або (якщо , тоді ; ; ; директриси: або ).

Рівняння гіперболи , введемо позначення – , тоді координати фокусів , ексцентриситет ; рівняння директрис – ; рівняння асимптот – .

Спряжена до даної гіпербола має рівняння: (або: ; фокуси ; ексцентриситет , рівняння директрис ; рівняння асимптот ).

Рівняння параболи: , координати фокуса , рівняння директриси ; ексцентриситет . (Якщо рівняння параболи , то координати фокуса , рівняння директриси , ексцентриситет ).

Для зведення рівняння кривої другого порядку (КДП) до канонічного виду, обчислимо інваріанти ; . Розв’язуємо характеристичне рівняння . Тоді його корені є значеннями .

Обчислюємо кут повороту: знаходимо Тоді матриця переходу І нові коефіцієнти і обчислюємо за формулою . Записуємо рівняння КДП після повороту на кут :

.

Виділяємо повні квадрати і отримуємо рівняння типу:

Виконуємо паралельне перенесення системи координат в точку , маємо:

.

І тоді, в залежності від , робимо висновок, що це за КДП (9 типів КДП):

1. –еліпс;

2. –уявний еліпс;

3. –пара уявних прямих, що перетинаються в дійсній точці;

4. –гіпербола;

5. –пара (дійсних) прямих, що перетинаються;

6. –парабола;

7. –пара паралельних прямих;

8. –пара уявних паралельних прямих;

9. –пара співпавших паралельних прямих.