Глава 1.Основания геометрии

§1.Введение: геометрия – как физика и геометрия, как математика.

(Выдержки из предисловия П. К. Рашевского к книге Д. Гильберта «Основания геометрии)

Когда мы изучаем геометрию впервые –так, как она преподается в школе, - в нашем сознаний возникает своеобразный мир идей, которые странным образом и реальны и признаны одновременно. Мы рассуждаем о прямых линиях, о плоскостях, о геометрических телах (например, о шаре) и т.д. приписывая им вполне определенные свойства. Но где и в каком смысле существует эти вещи в таком виде, в каком они служат предметом нашего изучения. Примеры: шлифование пластины, луч света и т.д. Что же мы тогда изучаем? Ведь мы твердо знаем, что связь есть. Инженер, рассчитывающий новую конструкцию, в случае неудачи может усомниться в каких ровно своих допущениях, но ни в коем случае не в формуле для объема призмы.

Начнем с такого грубого примера: Пусть перед нами забор, огородивший зеленый участок, если мы займемся вычислением площади и распланировки этого участка, то нам не важно из чего сделан забор и какова его толщина. Нам важны свойства, связанные с его протяженностью. И эти свойства как раз и будут свойствами лини в геометрическом смысле слова, то же самое веревка, траектория снарядов и т.д.

Идеальный характер геометрических образов означает просто отвлечение (абстракцию) от несущественных в данной связи свойств материальных вещей. Таким образом, истины геометрии, отражая материальную действительность, воспроизводят ее приближенно, в схематизированном виде. Именно за счет отвлечения от бесчисленного множества усложняющих обстоятельств и возникают столь имонирующая стройность и законченность геометрической теории.

Но ведь тогда геометрия не может претендовать на неограниченную приложимость к исследованию мира? Да, конечно. Чтобы сделать снова ее пригодной, нам придется ее уточнять и вспоминать, то, что было отброшено (толщина забора, масса кванта света и т.д.) [сказать о сто 1905,1916 - ото]

Но в геометрии есть и другая, математическая сторона и она для нас сейчас наиболее важна. Речь идет о логической структуре геометрии, именно здесь заключена ее сущность, как отдела математики.

Прежде всего, ясно, что геометрия не представляет собой просто совокупности предложений, имеющих самостоятельное значение каждое в отдельности. Предложения геометрий связаны густой сеткой логических зависимостей, т.е. из одних предложений можно выводить другие чисто логическим путем, не пользуясь, подчеркнутыми из опыта свойствами геометрических образов, а просто применяя правила формальной логики.

Пример:”Всякий прямоугольник обладает равными диагоналями” и “всякий квадрат есть прямоугольник” отсюда следует “всякий квадрат обладает равными диагоналями”. Здесь можно вообще не знать, что такое квадрат или что такое диагональ. Это известный из формальной логики тип силлогизма и потому вывод будет все равно правильным .((А®В)Ù(С®А))®(С®В)

Естественно, возникает вопрос: каким образом можно охватить всю систему формально логических зависимостей такого рода, пронизывающих геометрию, а не только отмечать их на отдельных примерах.

Ответ на этот вопрос дает аксиоматическое построение геометрии. Его целью является получить в геометрической теории максимум возможного за счет формально логических умозаключений. А т.к. формальная логика учит лишь тому, как выводить новые положения из уже данных, то “из ничего” форм. логика ничего вывести и не может. Поэтому, по крайней мере некоторые из положений геометрий необходимо, так или иначе, принять в качестве верных, а затем уже выводить из них остальные чисто логическим путем. Те, что приняли, называют аксиомами, те, что вытекли теоремами.

При этом, естественно, нужно стремиться к тому, количество аксиом было возможно меньшим, а основная работа выпадала на долю форм. логических умозаключений.

Итоги: Геометрия как физика изучает свойства протяженности материальных тел. Ее положения могут и должны быть проверяемы опытным путем. Как все положения физики, они воспроизводят материальный мир лишь в абстракции и истины, поэтому лишь приближенно.

Геометрия как математика интересуется лишь логическими зависимостями между своими положениями, более точно занимается логическим выводом из некоторого числа положений (аксиом) всех остальных. Об истинности предложений геометрии как математики можно говорить лишь условно, в том смысле, что данное предложение действительно выводиться из аксиом.

Но, геометрия как физика опирается на логические схемы геометрии как математики, а геометрия как математика развивается под влиянием интересов идущих прямо или косвенно из физики. Это разграничение явилось большим достижением науки конца CICначалаCCвека, т.к. раньше тормозило.