§7. Параллельность и перпендикулярность в модели Клейна

С параллельностью ясно, а вот с сложнее. Пусть АВСD, т.е.АОD=АОС=СОВ=ВОD. Рассмотрим этот круг на расширенной евклидовой плоскости (т.е. в проективной модели).

Теорема 1. АВОD  когда они изображаться хордами абсолюта, лежащими на проективных прямых, каждая из которых проходит через полюс другой.

Доказательство: Пусть СDАВ. АОС=АОD  - преобразование (проективное!), которое АОСАОD  O = f(O), A = f(A)  B=f(B), D=f(C)- три точки прямой неподвижныэто гомологияу нее есть центр Е касательнаяв касательнуюв неподвижной поляритете совпадает с этим- преобразованием, через который проходит прямая ДС. Учитывая в поляритетеч.т.д.

Пусть СД проходит через Е. Рассмотрим гомологию с центром в точке Е и осью АВ. Репер АСВОпроективный репер АДВОЭта гомология на круге есть- преобразование, т.е. перепереводит в себяАОСАОД.Т.е. Е-помос и значит все прямые делятся в том же отношений.

Теперь легко доказать теорему 2.

Th2 Две расходящие прямые имеют единственный общий.

Ясно, т.к. для каждой хорды единственный помос, а через две точки единственная прямая проходит- нет общего перпендикуляра.тоже нет.

§8 Расстояние на плоскости Лобачевского

Мы с вами уже говорили, что две фигуры равны, если $L- преобразования которые одну фигуру переводят в другую, т.е.L- преобразования – есть движения плоскости Лобачевского. Но мы знаем, что движения должны сохранять какие-то расстояния. Что же понимать под расстоянием здесь? Эти самыеL- преобразования сохраняют следующие отношения четырех точек прямой. Наверное, оно должно участвовать в формуле расстояний.Пусть А (х₁, у₁) и В (х₂, у₂). Прямая АВ пересекает окружностьwв точках С (х₃, у₃) иD(х₄, у₄). Ясно, что (АВ, СD)=>0

df1под расстоянием на плоскости Лобачевского назовем числоd=(сказать об аксиомах расстояния) или в координатахd=

Теперь мы можем найти расстояние между бесконечно близкими точками, т.е. линейный элемент: ds².

(х, у) (x+dx,y+dy).

2. ds²=c, c>0.

Рассматривая линейный элемент ds²как линейный элемент поверхности в

Евклидовом пространстве, выясним, что это за поверхность.

Можно воспользоваться формулой Гаусса, дающей выражения полной кривизны через коэффициенты Iквадратичной формы и их производные, получаемk= -c.

Th Плоскость Лобачевского (гиперболическая плоскость) локально изометричные поверхности постоянной отрицательной кривизны.

Не удивительно, ведь мы же знаем, что и там сумма углов геодезического треугольника < p. (a+b+g)-p=ks.

Наиболее известна – псевдосфера.

Т.к. отображение плоскости Лобачевского на поверхность отрицательной кривизны есть локальная изометрия, то прямые перейдут в геодезические, и значит геометрия прямых на поверхности отрицательной кривизны (т.е. в модели Бельтракт) есть геометрия геодезическая.

ЗамечаниеДоказано: что в трехмерном евклидовом пространстве не существует ни какой поверхности, которая своей внутренней геометрией представляла бы всю плоскость Лобачевского.

Книга: Мищенко, Фоменко (издание дифференциальной геометрии и топологии. Издательство МГУ,1960г.)