22 Минимизация в классе дизъюнктивных нормальных форм.
Наиболее известным алгоритмом построения сокращенной д. н. ф., повидимому, является алгоритм Блейка—Порецкого , описанный во многих руководствах. ЭТОТ алгоритмстроит сокращенную д. н. ф. по д. н. ф. произвольного вида.
Алгоритм СОСТОИТ в применении к исходной д. н. ф. правила обобщенного склеивания хА\/хВ=хА\/хВ\/АВ до тех пор, пока это возможно, и последующем применении правила поглощения AVA-S—А. Считается, что преобразования выполняются слева направо.
Квайн предложил алгоритм построения сокращенной д. н. ф. по совершенной. Этот алгоритм аналогичен алгоритму Блейка—Порецкого и отличается тем, что вместо операции обобщенного склеивания применяется обычное склеивание xA\JxA=A.
МакКласки усовершенствовал процедуру путем разбиения множества конъюнкций совершенной д. н. ф, на классы по числу неинверсных вхождений переменных. При этом возможность склеивания проверялась только для элементов соседних классов. Это привело к существенному сокращению числа операций. Усовершенствования метода Квайна— МакКласки предлагались различными авторами.
В работе Нельсона предложен алгоритм построения сокращенной д. и. ф. по произвольной конъюнктивной нормальной форме (к. н. ф.). Метод состоит в переходе от к. н. ф. кд. н. ф. с помощью раскрытия скобок и последующего применения правил х-х—0, 'х-х=х, А\/АВ — А.
Для построения сокращенной д. н. ф. «вручную» для функций, зависящих от небольшого числа переменных,1 удобным
средством являются карты Карно и диаграммы Вейтча. Графико-механические и матричные способы получения сокращенной д. н.'ф. предлагались в работах.
Суть метода Квайна весьма проста. Основу его составляет теорема склеивания, которая применяется к каждой паре минтермов заданной функции.
23 Исчисление высказываний и исчисление предикатов.
Логика высказываний – самый простой раздел математической логики,
лежащий в основе всех остальных ее разделов. Основными объектами рас-
смотрения являются высказывания. Под высказыванием понимают повество-
вательное предложение, о котором можно сказать одно из двух: истинно оно
или ложно.
Из элементарных высказываний строятся более сложные высказывания с
помощью логических связок «НЕ», «И», «ИЛИ», «ТО ЖЕ, ЧТО»
(«ЭКВИВАЛЕНЦИЯ»), «ИЗ … СЛЕДУЕТ…». (« … ВЛЕЧЁТ…»,
«…ПОТОМУ, ЧТО…».). Эти связки называются сентенциональными. Связки
логики высказываний представляют функции истинности или функции алгебры логики. В таб.1.1 представлены логические связки и их обозначения.
Таблица 1.1
Определение 1. Отрицанием высказывания p называется высказывание ¬p
(или ⎯p), которое истинно только тогда, когда p ложно.
Пример. Высказывание «Неправда, что идёт снег» является отрицанием
высказывания «идёт снег».
Определение 2. Конъюнкцией высказываний p и q называется высказыва-
ние, которое истинно только тогда, когда p и q истинны., т.е. p = 1 и q = 1.
Пример. Чтобы успешно сдать экзамен, нужно иметь при себе зачётку и
правильно ответить на вопросы. Для успешной сдачи экзамена нужно выпол-
нить оба условия. Если обозначить как p – «иметь зачётку» и q – «правильно
ответить на вопросы», то условием сдачи будет конъюнкция высказываний p&q.
Определение 3. Дизъюнкцией высказываний p и q называется высказыва-
ние, которое ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, т. е. p= 0 и q =0.
Примеры. (7 >3 или 4 ≠ 1) =1; (или sin2x имеет период 2π, или √⎯2 – ра-
циональное число) = 0.
Определение 4. Импликацией высказываний p и q называется высказыва-
ние, которое ложно тогда и только тогда, когда p истинно, q ложно, т.е. p = 1 и
q = 0 (из p следует q).
Пример. Вышеприведённый пример с успешной сдачей экзамена можно
записать как p&q → r, где r – «успешно сдать экзамен».
Определение 5. Эквиваленцией высказываний p и q называется высказы-
вание, которое истинно только и только тогда, когда значения высказываний p
и q совпадают (p эквивалентно q).
Пример. «Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он не
содержит циклов нечётной длины». Если p – высказывание «иметь циклы не-
четной длины», q – «граф двудольный», то начальная фраза примера запишется
в виде q ⇔⎯ p .