Алгоритм получения скнф по таблице истинности.

1. Отметить те строки таблицы истинности, в последнем столбце ко­торых стоит 0:

X	Y	F(X,Y)
0	0	0*
0	1	1
1	0	1
1	1	0*

2. Выписать для каждой отмеченной строки дизъюнкцию всех пере­менных следующим образом: если значение некоторой переменной в дан­ной строке равно 0, то в дизъюнкцию включать саму эту переменную, если равно 1, то ее отрицание: — для 1-й строки; — для 4-й строки.

3. Все полученные дизъюнкции связать в конъюнкцию: (2*)

Если мы хотим построить формулу некоторой функции по таблице истинности этой функции, то всегда можно получить СКНФ или СДНФ этой функции.

20 Булева алгебра. Логические функции одной или нескольких переменных.

Булевы функции двух переменных

x1 x2	x1Vx2	x1& x2	x1x2	x1~x2	x1  x2	x1¯ x2	x1ï x2
0 0 0 1 1 0 1 1	0 1 1 1	0 0 0 1	1 1 0 1	1 0 0 1	0 1 1 0	1 0 0 0	1 1 1 0

В таблице 2.3 представлены следующие функции двух переменных:

x₁Vx₂ – дизъюнкция;

x₁& x₂ – конъюнкция;

x₁x₂ – импликация;

x₁~x₂ – эквивалентность;

x₁ x₂ – сложение по модулю 2;

x₁¯x₂ – стрелка Пирса;

x₁ï x₂ – штрих Шеффера.

функция одной переменой может иметь четыре значения: y = x; y = x (отрицание х); y = 0 (константа 0); y = 1 (константа 1).

21 Суперпозиции функций. Полные системы логических функций.

Пусть имеется некоторый набор K, состоящий из конечного числа булевых функций. Суперпозицией функций из этого набора называются новые функции, полученные с помощью конечного числа применения двух операций;

можно переименовать любую переменную, входящую в функцию из K;

вместо любой переменной можно поставить функцию из набора K или уже образованную ранее суперпозицию.

Суперпозицию еще иначе называют сложной функцией.

Пример 7.1. Если дана одна функция х|y (штрих Шеффера), то ее суперпозициями, в частности, будут следующие функции x|x, x|(x|y), x|(y|z) и т. д.

Замыканием набора функций из K называется множество всех суперпозиций. Класс функций K называется замкнутым, если его замыкание совпадает с ним самим.

Набор функций называется полным, если его замыкание совпадает со всеми логическими функциями. Иначе говоря, полный набор – это множество таких функций, через которые можно выразить все остальные булевы функции.

Неизбыточный полный набор функций называется базисом (“неизбыточный” означает, что если какую-то функцию удалить из набора, то этот набор перестанет быть полным).

Система логических функций называетсяФункционально полной системой, если любая логическая функция может быть выражена через функции с помощью их суперпозиции (быть выражена формулой над).

Из (3.3) следует, что система является функционально полной. Очевидно, что любая система, через функции которой можно выразить конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание, будет полной. Действительно, для любой функции f можно взять булеву формулу (по(3.3.-, (3.3.)

) или (3.24.)), и все булевы операции в них заменить формулами над , представляющими эти операции. Несложно также доказать утверждение.

Утверждение: если система - функционально полная и любаяможет быть выражена суперпозицией через функции, тогда систематоже функционально полная.