18 Нормальные формы формул, приведение к днф, кнф.

Если логическая функция представлена дизъюнкцией, конъюнкцией или инверсией, то такая форма называется нормальной.

Элементарная конъюнкция – это конъюнкция конечного множества переменных и их инверсий.

Элементарная дизъюнкция - это дизъюнкция конечного множества переменных и их инверсий.

Число аргументов, образующих элементарную дизъюнкцию или конъюнкцию, называется рангом.

Дизъюнктивная нормальная форма содержит элементарные конъюнкции, связанные между собой операцией дизъюнкции.

Конъюнктивная нормальная форма содержит элементарные дизъюнкции, связанные между собой операцией конъюнкции.

Алгоритм приведения формулы к ДНФ:

1. Выразить все логические операции, участвующие в построении формулы, через дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, используя эквивалентности

2.Используя законы де Моргана, переносим все отрицания к переменным и сокращаем двойные отрицания по правилу

3. Используя закон дистрибутивности преобразуем формулу так, чтобы все конъюнкции выполнялись раньше дизъюнкций.

Алгоритм приведения формулы к КНФ:

1. Выразить все логические операции, участвующие в построении формулы, через дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, используя эквивалентности

2.Используя законы де Моргана, переносим все отрицания к переменным и сокращаем двойные отрицания по правилу

3.Используя закон дистрибутивности , преобразуем формулу так, чтобы все дизъюнкции выполнялись раньше, чем конъюнкции.

(Алгоритм приведения формул булевых функций к ДНФ (КНФ)).

Шаг 1. Все подформулы A вида B  C (т.е. содержащие импликацию) заменяем на BVC или на (B&C).

Шаг 2. Все подформулы A вида B ~ C (т.е. содержащие эквивалентность) заменяем на (A&B) V (A&B) или на (AVB)&(AVB).

Шаг 3. Все отрицания, стоящие над сложными подформулами, опускаем по законам де Моргана.

Шаг 4. Устраняем все двойные отрицания над формулами (в соответствии с равносильностью 8).

Шаг 5. Осуществляем раскрытие всех скобок по закону дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции для ДНФ (в соответствии с равносильностями 3а и 17) или по закону дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции для КНФ.

19 Совершенная дизъюнктивная и совершенная конъюнктивная нормальные формы.

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) называет­ся ДНФ, в которой нет одинаковых элементарных конъюнкций и все конъ­юнкции состоят из одного и того же набора переменных, в который каж­дая переменная входит только один раз (возможно, с отрицанием).

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) называется КНФ, в которой нет одинаковых элементарных дизъюнкций и все дизъюнкции состоят из одного и того же набора переменных, в который каждая переменная входит только один раз (возможно, с отрицанием).

Алгоритм получения сднф по таблице истинности.

1. Отметить те строки таблицы истинности, в последнем столбце ко­торых стоят 1:

X	Y	F(X,Y)
0	0	0
0	1	1*
1	0	1*
1	1	0

2. Выписать для каждой отмеченной строки конъюнкцию всех пере­менных следующим образом: если значение некоторой переменной в дан­ной строке равно 1, то в конъюнкцию включать саму эту переменную, если равно 0, то ее отрицание: — для 2-й строки; — для 3-й строки.

3. Все полученные конъюнкции связать в дизъюнкцию: (1*)

(Алгоритм приведения формулы булевой функции к СДНФ)

Шаг 1. Используя алгоритм построения ДНФ, находим формулу В, являющуюся ДНФ формулы А.

Шаг 2. Вычеркиваем в B все элементарные конъюнкции, в которые одновременно входят какая-нибудь переменная и ее отрицание. Это обосновывается равносильностями:

A&A  0, B&0  0, СV0  С.

Шаг 3. Если в элементарной конъюнкции формулы B некоторая переменная или ее отрицание встречается несколько раз, то оставляем только одно ее вхождение. Это обосновывается законом идемпотентности для конъюнкции: A&A  A.

Шаг 4. Если в элементарную конъюнкцию С формулы В не входит ни переменная x, ни ее отрицание x, то на основании 1- го закона расщепления заменяем С на (С&x) V (C&x).

Шаг 5. В каждой элементарной конъюнкции формулы B переставляем конъюнктивные члены так, чтобы для каждого i (i = 1, ..., n) на i-м месте была либо переменная x_i, либо ее отрицание x_i.

Шаг 6. Устраняем возможные повторения конъюнктивных членов согласно закону идемпотентности для дизъюнкции: СVС  С.