47 Эйлеровы цепи и циклы. Гамильтоновы цепи и циклы.

цикл, содержащий все ребра графа, стали называть эйлеровой линией, эйлеровым циклом, замкнутой эйлеровой цепью или просто

эйлеровой цепью . Граф, содержащий эйлеров цикл, получил название эйлерова графа. Если граф содержит разомкнутую цепь, содержащую все ребра этого графа, то такой граф называется полуэйлеровым.

Теорема 1. Если в связном графе все вершины четны, то этот граф содержит эйлеров цикл.

Верно и обратное утверждение: если граф содержит эйлеров цикл, то все его вершины четны.

Теорема 2. Если  в связном графе две вершины нечетны, а все остальные – четны, то этот граф содержит эйлерову разомкнутую цепь.

Всякую линию, которую можно провести, проходя по заданным участкам точно по одному разу, называют уникурсальной

Теорема 3. Если в связном графе G содержится 2k нечетных вершин, то в нем имеется k разомкнутых эйлеровых цепей, в совокупности содержащих все ребра графа G точно по одному разу. 

Теорема 4. В любом связном графе можно построить замкнутый маршрут, проходящий через каждое ребро точно два раза.

Из теоремы 4. следует, что любой граф можно изобразить, не отрывая карандаш от бумаги и проходя по каждому ребру не более двух раз.

цикл, содержащий по одному разу каждую вершину графа, стали называть гамильтоновой линией (гамильтоновым циклом), а граф, содержащий гамильтонову линию, –гамильтоновым графом.

Связный граф, содержащий простую разомкнутую цепь, в которую входят все вершины графа, называется полугамильтоновым.

Цепь (цикл) в G называется гамильтоновой (гамильтоновыми), если она (он) проходит по одному разу через каждую вершину псевдографа G.

Граф является гамильтоновым, если он содержит гамильтонов цикл.

Теорема. Если в простом графе с n (і 3) вершинами локальная степень каждой вершины не менее , то граф является гамильтоновым. 

48 Транспортные сети. Понятие транспортной сети.

Транспортной сетью называется орграф D = (V, X) с множеством вершин V, для которого выполняются условия:

1) существует одна и только одна вершина V1, называемая источником, такая, чтоD в степени (-1) (V1) = 0 (т.е. ни одна дуга не заходит в V1);

2) существует одна и только одна вершина vn, называемая стоком, такая, что D(vn) = 0 (т.е. из vn не исходит ни одной дуги);

3) каждой дуге x О X поставлено в соответствие целое число c(x)0, называемое пропускной способностью дуги.

Определение. Вершины в транспортной сети, отличные от источника и стока, называются промежуточными.

Функция j (x), определенная на множестве X дуг транспортной сети D, и принимающая целочисленные значения, называется допустимым потоком (или просто потоком) в транспортной сети D, если:

1) для любой дуги x О X величина j(x), называемая потоком по дуге х, удовлетворяет условию 0j(x)c(x);

2) для любой промежуточной вершины v выполняется равенство:

т.е. сумма потоков по дугам, заходящими в v, равна сумме потоков по дугам, исходящими из v.

49 Поток в транспортной сети. Разрез, пропускная способность разреза.

Определение. Величиной потока j в транспортной сети D называется величина j, равная сумме потоков по всем дугам, заходящим в , или, что то же самое, величина, равная сумме потоков по всем дугам, исходящим изV1, т.е.:

Определение. Дуга x О X называется насыщенной, если поток по ней равен ее пропускной способности, т.е. если j(x)= c(x).Поток j называется полным, если любой путь в D из V1 в Vn содержит, по крайней мере, одну насыщенную дугу.

Определение. Поток j называется максимальным, если его величина принимает максимальное значение по сравнению с другими допустимыми потоками в транспортной сети D.

Очевидно, что максимальный поток j обязательно является полным. Обратное неверно. Существуют полные потоки, не являющиеся максимальными. Тем не менее, полный поток можно рассматривать как некоторое приближение к максимальному потоку.

Разделяющим множеством графа G называется такое множество его ребер, после удаления которых получается несвязный граф. Разрезом называется такое разделяющее множество, у которого нет ни одного разделяющего собственного подмножества.

Разрезом сети называется множество , которому принадлежит исток, и не принадлежит сток. Т.е. разрез - это минимальное (в смысле отношения включения) множество дуг, удаление которых “ разрывает” все пути, соединяющие исток и сток.

Пропускной способностью разреза называется число , равное сумме пропускных способностей дуг этого разреза. Разрез называется минимальным, если имеет наименьшую пропускную способность.

Отыскание минимального разреза - одна из основных задач анализа транспортных сетей.

В силу конечности графа минимальный разрез может быть найден перебором всех разрезов, но этот путь, конечно, неприемлим для достаточно больших графов. Оказывается, что минимальный разрез можно отыскать при помощи максимального потока сети на основании теоремы Форда-Фалкерсона.