36 Перестановки и подстановки.

Два размещения без повторений из n элементов по n, состоящие из одних и тех же элементов, расположенных в различном порядке называются перестановками без повторений из n элементов. Их число обозначают Р_n.

Пусть дан кортеж длинны п, составленный из элементов множества Х={х₁, …, х_k}. Причем буква х₁ входит в этот кортеж п₁ раз, буква х_k = п_k раз. Тогда п=п₁ + … +п_k. Если переставлять в этом кортеже буквы, то будут получаться новые кортежи, имеющие тот же состав. Эти кортежи называются перестановками с повторениями из букв х₁,… , х_k, имеющими состав (п₁, … , п_k).

Число таких перестановок обозначается Р(п₁, … , п_k) и находится по формуле:

37 Разбиения Формула включений и исключений.

Разбие́ние числа́ n — это представление n в виде суммы положительных целых чисел, называемых частями. При этом порядок следования частей не учитывается (в отличие от композиций), то есть разбиения, отличающиеся только порядком частей, считаются равными. В канонической записи разбиения части перечисляются в невозрастающем порядке.

Например, или  — разбиения числа 5, поскольку . Всего существует p(5)=7 разбиений числа 5: , , , , , , .

Формула включений-исключений (или принцип включений-исключений) — комбинаторная формула, позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом. В теории вероятностей аналог принципа включений-исключений известен как формула Пуанкаре^[1].

Случай двух множеств

Например, в случае двух множеств формула включений-исключений имеет вид:

В сумме элементы пересеченияучтены дважды, и чтобы компенсировать это мы вычитаемиз правой части формулы. Справедливость этого рассуждения видна издиаграммы Эйлера-Венна для двух множеств, приведенной на рисунке справа.

Таким же образом и в случае множеств процесс нахождения количества элементов объединениясостоит во включении всего, затем исключении лишнего, затем включении ошибочно исключенного и так далее, то есть в попеременном включении и исключении. Отсюда и происходит название формулы.

38 Теория графов. Основные понятия и определения.

39 Понятие графа. Виды графов.

граф – это множество V точек, определенным образом соединенных между собой линиями, необязательно прямыми. Точки множества V называются вершинами графа, а соединяющие их линии – ребрами. Вершины графа обычно нумеруют десятичными числами, но можно использовать и любые другие знаки. Если вершины пронумерованы, то ребра обозначают неупорядоченными парами номеров вершин. Каждую пару образуют номера тех вершин, которые соединены ребром.

Граф называется простым (или линейным), если любые две его вершины соединены не более чем одним ребром и каждое ребро соединяет различные вершины.

Всякий простой граф может быть представлен не только в виде рисунка, но и аналитически. Пусть E – множество ребер графа, тогда можно записать (рисунок 5.1):

V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},

E = {{1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,7}, {2,5}, {2,6}, {2,7},{3, 4}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5,7}},

где E – множество двухэлементных подмножеств множества V, каждое из которых определяет ребро, соединяющее вершины и.

Существуют графы, в которых те или иные пары вершин соединены не одним ребром, а несколькими. Такие ребра называют кратными (параллельными).

Граф может содержать ребра, соединяющие какую-либо вершину саму с собой. Такие ребра называются петлями.

Вершина называется изолированной, если у нее нет петель и из нее не выходит ни одного ребра.

Граф, содержащий петли  или кратные ребра, называется псевдографом. 

Псевдограф без петель называется мультиграфом.

Граф, не содержащий вершин, называется пустым графом. Очевидно, что пустой граф является подграфом любого графа.

Непустой подграф называется собственным, если он не совпадает с исходным графом G. Граф G и пустой граф называются несобственными подграфами (по аналогии с несобственными подмножествами).

Граф, в котором нет ни одного ребра, называетсянульграфом.

Если в графе G все вершины оставить на своих местах и удалить одно или несколько ребер, то получится частичный граф.