27. Аксиомы исчисления предикатов.

Сформулируем аксиомы исчисления предикатов и правила вывода исчисления предикатов. (http://webkonspect.com/?room=group&id=63&labelid=1929)

 Исчисление предикатов.

Если выполнить подстановку вместо ПП исчисления высказываний формулы алгебры предикатов, то каждая схема доказательства теоремы и каждая схема вывода заключения сохраняются в исчислении предикатов.

В этом разделе логики выделяют три класса формул:

· Тождественно истинные формулы - при исполнении логических и кванторных операций принимают значение «истины» для всех интерпретаций предметных постоянных, функциональных и предикатных символов. Большинство из них - аксиомы исчисления предикатов. Например: ∃_x(F(x))↔¬∀_x(¬F(x)).

· Тождественно ложные формулы - при исполнении логических и кванторных операций принимают значение «ложь» для всех интерпретаций предметных постоянных, функциональных и предикатных символов. Например, ∃_x(F(x))&∀_x(¬F(x)).

· Выводимые формулы - при исполнении логических и кванторных операций принимают значение «истина» не для всех интерпретаций предметных постоянных, функциональных и предикатных символов. Например, ∃_x(F(x))→¬∀_x(F(x)). Выводимость формулы записывается так: F₁,F₂,…, F_n|⎯ F, где слева от знака выводимости записывают множество посылок и необходимых аксиом, а справа – заключение F («верно, что F выводимо из посылок и аксиом F₁,F₂,...,F_n»). Другая форма вывода заключения:где над чертой - множество посылок и аксиом, а под чертой - заключение.

П1.Удаление квантора всеобщности: если выводима формула ∀x(F(x)), то, заменив предметную переменную x на терм t, можно удалить квантор всеобщности и получить выводимую формулу:

П2. Введение квантора всеобщности:

a) если выводима формула F(t), то, заменив терм t на предметную переменную x, можно ввести квантор всеобщности и получить выводимую формулу:

b) если выводима формула (F₁(t)→F₂(x)) и F₁(t) не содержит свободной переменной x, то выводима формула:

П3. Удаление квантора существования: если выводима формула ∃_x(F(x)), то, заменив предметную переменную х на предметную постоянную ‘а’, можно удалить квантор существования и получить выводимую формулу:

П4. Введение квантора существования:

a) если выводима формула F(t), то, заменив терм t на предметную переменную x в заданной области интерпретации, можно ввести квантор существования и получить выводимую формулу:

b) если выводима формула F₁(x)→F₂(t) и F₂ не содержит свободной переменной x, то выводима формула:

П5. Формирование ПНФ формулы:

a) если при исполнении логических операций один из предикатов формулы F_i не содержит переменной x, связанной в другом предикате формулы F_j, и формулы выводимы, то выводима одна из формул:

b) если выводимы формулы ∀_x(F₁(x))∨∀_x(F₂(x)) и ∃_x(F₁(x))&∃_x(F₂(x)), то при смене в левой формуле имени переменной получим также выводимые формулы:

28. Алгебраические структуры. Группы.

Понятие группы

 

Пусть задано некоторое (конечное или бесконечное) множество G, на котором определена операция умножения, т.е. определен закон, сопоставляющий любой паре a, b элементов из G некий элемент из G называемый произведением a и b и обозначаемый символом a∙b.

Операция умножения удовлетворяет следующим условиям:

1.                Условие ассоциативности. Для любых трех элементов a, b и c множества G справедливо соотношение:

(ab)c=a(bc);

2.                Условие существования нейтрального элемента. Среди элементов множества G имеется некоторый определенный элемент, называемый нейтральным элементом и обозначаемый символом 1, такой что:

a*1=1*a=a;

3.                Условие существования обратного элемента к каждому данному элементу. К каждому данному элементу а множества G можно подобрать такой элемент b того же множества G, что:

ab=ba=1.

Пусть задана какая-нибудь группа G; тогда, если множество H, состоящее из некоторых элементов нашей группы G, образует группу, то группу H называется подгруппой группы G. Элемент b называется обратным к элементу а и обозначается а^-1.

Множество G с определенной в нем операцией умножения, удовлетворяющей только что перечисленным трем условиям, называется группой; сами эти условия называются аксиомами группы.

Операция умножения, удовлетворяющая аксиомам группы, иногда называется групповой операцией или групповым законом.

Пусть в группе G, кроме указанных выше трех аксиом, оказывается выполненным еще и следующее условие:

 - Условие коммутативности:

ab=ba.

В этом случае группа G называется коммутативной или абелевой группой.

Группа называется конечной, если она состоит из конечного числа элементов; в противном случае она называетсябесконечной.

Число элементов конечной группы называется ее порядком.