Задание 1

Найти указанные пределы.

А
Б
В
Г
Д
ЕЁ
Ж
З
ИЙ
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
ФХ
ЦЧ
ШЩ
ЬЫ
ЭЮ
Я

Задание 2

Исследовать функции на непрерывность, найти точки разрыва функции, если они существуют; установить характер каждой точки разрыва, сделать схематический чертеж.

А
Б
В
Г
Д
ЕЁ
Ж
З
ИЙ
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
ФХ
ЦЧ
ШЩ
ЬЫ
ЭЮ
Я

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Задание 3

Найти производную функции.

А
Б
В
Г
Д
ЕЁ
Ж
З
ИЙ
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
ФХ
ЦЧ
ШЩ
ЬЫ
ЭЮ
Я

Задание 4

Найти вторую производную функции.

А		Б		В
Г		Д		ЕЁ
Ж		З		ИЙ
К		Л		М
Н		О		П
Р		С		Т

Задание 5

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить её график.

А		Б		В
Г		Д		ЕЁ
Ж		З		ИЙ
К		Л		М
Н		О		П
Р		С		Т
У		ФХ		ЦЧ
ШЩ		ЬЫ		ЭЮ
Я

Интегральное исчисление функции одной переменной

Задание 6

Найти неопределённые интегралы. В двух первых примерах (п. а и б) проверить результаты дифференцированием.

Вариант  А

а

Вариант  Б

а

б

Вариант  В

а

б

Вариант  Г

а)

б)

Вариант  Д

а)

б)

Вариант  ЕЁ

а)

б)

Вариант  Ж

а)

б)

Вариант  З

а)

б)

Вариант  ИЙ

а)

б)

Вариант  К

а)

б)

Вариант  Л

а)

б)

Вариант  М

а)

б)

Вариант  Н

а)

б)

Вариант  О

а)

б)

Вариант  П

а)

б)

Вариант  Р

а)

б)

Вариант  С

а)

б)

Вариант  Т

а)

б)

Вариант  У

а)

б)

Вариант  ФХ

а)

б)

Вариант  ЦЧ

а)

б)

Вариант  ШЩ

а)

б)

Вариант  ЬЫ

а)

б)

Вариант  ЭЮ

а)

б)

Вариант  Я

а)

б)

 

Задание  7

Вариант  А

а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией

б) Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара, имеющего форму правильной пирамиды с основанием 20м² и высотой 5м.

Вариант  Б

а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами y²=3x, x²=3y.

б) Найти силу давления воды на вертикальный треугольный щит, погруженной в воду так, что его основание лежит на свободной поверхности воды. Основание треугольника равно a, высота h.

Вариант  В

а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды x=a(t-sint), y=a(1-cost) и осью OX.

б) найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболами 10x=y², и 10y=x².

Вариант   Г

а) Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной кривыми .

б) Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара, имеющего форму правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания 2м и высотой 5м. Удельный вес воды принять равным 9,8кн/м³.

Вариант  Д

а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r=3(1+cos φ ).

б) Найти работу, необходимую для того чтобы выкачать воду из цилиндрической цистерны, имеющей радиус основания R и высоту H.

Вариант  ЕЁ

а) Определить длину дуги кривой y²=x³, отсечённой прямой x=4/3.

б) Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, ограниченной полуокружностью и осью OX.

Вариант   Ж

а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y=3x²+1 и прямой y=3x+7.

б) Найти статический момент дуги первой арки циклоиды y=a(1-cost), x=a(t-sint), относительно оси OX.

Вариант  З

а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной трехлепестковой розой r=5sin3 φ .

б) Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, ограниченной координатными осями и дугой эллипса

Вариант  ИЙ

а) Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной параболами .

б) Найти работу, необходимую для того чтобы выкачать воду из конической воронки, обращённой вершиной вниз, если радиус основания конуса R=10м, а высота H=15м.

Вариант  К

а) Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной полу эллипсом , параболой и осью OY.

б) Найти статический момент дуги параболы y²=2x (y>0) относительно оси OX от x=0 до x=2.

Вариант  Л

а) Вычислить длину дуги линии x=2(cost+tsint), y=2(sint - tcost), 0<  t < π

б) Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф   ограниченной кривыми

Вариант  М

а) Вычислить объём тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями y²=4 - x, x=0 вокруг оси OY

б) Найти координаты центра масс однородной плоской кривой L (первая арка цилиндра x=a(t - sint), y=a(1 - cost), 0<  t <  2π.

Вариант  Н

а) Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой отсечённой прямой вокруг оси OY;

б) Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара, имеющего форму правильной четырёхугольной пирамиды, обращённой вершиной вниз. Сторона основания пирамиды 2м, высота 6м. Удельный вес воды принять равным 9,8 кН/м³.

Вариант  О

а) Вычислить длину дуги линии x=5cos²t, y=5sin²t, 0 > t > π/2;

б) Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из конической воронки, обращённой вершиной вниз, если радиус основания конуса R=10м, высота Н=15м.

Вариант  П

а) Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной астройдой x=acos³t, y=asin³t;

б) Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной эллипсом x²+4y²=4 и окружностью x²+y²=4 и расположенной в первой координатной четверти.

Вариант  Р

а) Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой x=cost, y=1+sint вокруг оси OX,

б) Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры Ф, ограниченной дугой y=sinx и отрезком оси OX (0 < t < π).

Вариант  С

а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями xy=6, x+y-7=0;

б) Найти координаты центра тяжести однородной плоской кривой L: полуокружности x²+y²=R², расположенной над осью OX.

Вариант  Т

а) Вычислить объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями 2y=x², 2x+2y-3=0 вокруг оси OX;

б) Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара, представляющего собой правильную четырёхугольную пирамиду, обращённую вершиной вниз, сторона основания которой 4м, высота 6м. Удельный вес воды принять равным 9,8 кН/м³.

Вариант  У

а) Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг оси OX: ;

б) Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры Ф, ограниченной дугой параболы , осью OX и прямой x=b.

Вариант  ФХ

а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y²=x+1, y²=9 - x;

б) Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры Ф, ограниченной дугой параболы , осью OY и прямой y=b.

Вариант  ЦЧ

а) Вычислить длину дуги линии ;

б) Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, ограниченной линиями ay²=x³ и x=a.

Вариант   ШЩ

а) Вычислить объём тела, полученного вращеним фигуры, ограниченной линиями y²=(1 - x)³, x=2 вокруг оси OX;

б) Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры Ф, ограниченной осями координат и дугой астроиды x=acos³t, y=asin³t, расположенной в первой четверти.

Вариант  ЬЫ

а) Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой 3x=y³, 0 < y < 2 вокруг оси OY;

б) Найти координаты центра тяжести однородной плоской кривой L: дуги кардиоиды ρ=a(1+cosφ), (0 <  φ < π).

Вариант  ЭЮ

а) Вычислить объём тела, полученного вращеним фигуры Ф вокруг оси OX: y=e^x, x=0, y=0, x=1;

б) Найти координаты центра тяжести однородной плоской кривой L: первой арки циклоиды x=a(t - sint), y=a(1 - cost). (0 < t < 2π).

Вариант  Я

а) Вычислить объём тела, образованного вращеним фигуры, ограниченной линиями вокруг оси OY ;

б) Найти статический момент дуги параболы y²=2x (x > 0) относительно оси OX от x=0 до x=2.

 

Дифференциальное исчисление функции многих переменных

Задание 8

Проверить, удовлетворяет ли указанному условию данная функция Z(x,y)

Варианты

А	z=exy	Б
В	z=e-cos(ax+y)	Г
Д	z=ln(x2+y2+1)	ЕЁ
Ж	z=sin2(y-ax)	З
ИЙ		К
Л		М
Н		О
П		Р
С		Т
У		ФХ
ЦЧ		ШЩ
ЬЫ		ЭЮ
Я

 

Задание  9

Найти наименьшее и наибольшее значение функции z=f(x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертёж области D.

Варианты

А    z=x2+xy, -1  x  1, 0  y  3. В     z=x2+2xy+2y2, -1  x  1, 0  y  2. Д     z=x2+y2-9xy+27, 0  x  3, 0  y  3. Ж    z=3-xy-2y2-x2, x  1, y 0, y  x. ИЙ  z=x2+2xy-y2+4x, x  0, y  0, x+y+2 0. Л     z=x2+xy-2, 4x2-4  y  0. Н     z=10+2xy-x2, 0  y  4-x2. П     z=5x2-3xy+y2+4, x -1, y -1, x+ y  1. С   z=x2+3y2+x-y, x  1, y  -1, x+ y  1. У     z=x2-xy+y2-4x, x  0, y  0, 2x+3y-12  0. ЦЧ   z=x2+2xy-4x+8y , 0  x  1, 0  y  2. ЬЫ   z=5x2-3xy+y2, 0  x  1, 0  y  1 Я      z=x2+2xy-4x+8y, 0  x  1, 0  y  1

Б    z=x2+2xy-y2-4x, -1  x  3, 0  y  x+1 Г    z=x2+y2-2x-2y+8, 0  x  1, 0  y  1-x ЕЁ  z=2x3-xy2+y2, 0  x  1, 0  y  6 З     z=3x+6y-x2-xy-y2, 0  x  1, 0  y  1 К     z=x2-2y2+4xy-6x-1, 0  x  3, 0  y  3-x М    z=x2+2xy-10, -2  x  2, 0  y  x2-4 О     z=xy-2x-y, 0  x  3, 0  y  4 Р      z=0,5x2-xy, -2  x  2, 2x2  y  8 Т      z=3x2+3y2-2x-2y+2, 0  x  1, 0  y  1-x ФХ   z=x2-2xy-y2+4x+1, -3  x  -1, 0  y  -1-x ШЩ  z=3x2+3y2-x-y+1, 1  x  5, 0  y  x-1 ЭЮ   z=2x2+2xy-0,5y2-4x, 0  x  1, 2x  y  2

Интегральное исчисление функции многих переменных

Задание  10

 А.  Вычислить объем тела, ограниченного параболическим цилиндром и плоскостями:

z = 4 – x², z = 0, y = 0, y = 5

Б. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом и плоскостью, в цилиндрических координатах:   z = 9 – x² – у²,  z = 0

 

В.  Вычислить объём тела , где V  ограничен плоскостями:

z = 1 – x – у, z = 0, y = 0, х = 0

 Г. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом и плоскостями:

  z = у², z = 0, х + y = 2, х = 0

 

Д. С помощью двойного интеграла вычислить площадь половинки лепестка четырехлепестковой розы

ρ = a cos 2φ, где 0 < φ < π/4;

2

ЁЕ.  С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = sin x, y = cos x, x = 0 (

Ж. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

z =  x² + у², x+y=4, x=0, y=0, z = 0

З.  Чему равен , где D-круг .

ИЙ. Вычислить с помощью двойного интеграла площадь фигуры

D: : y = 2х

y = x² , где 0 < x < 1

 К  Вычислить объём тела, ограниченного эллиптически параболоидом , плоскостью x + y = 1 и координатными плоскостями.

Л. С помощью двойного интеграла найти площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда

ρ = а ,        а = const .  

 М. С помощью двойного интеграла найти площадь, ограниченную окружностями, в полярных координатах:  х² + у² =1    и    х² + у² = 4

 Н. Вычислить с помощью двойного интеграла площадь, ограниченную одной петлей кривой .

О.  Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом, плоскостью, круговым цилиндром,  в цилиндрических координатах:

z = 4 - y²,  z = 0, x² + y² = 4

П.  Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

z = x²+y², z = 0, y = 1, y = 2x, y=6-x

Р. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:  z = 4 – y² , z=y²+2, x= -1, x = 2

 С. Вычислить , где V  ограничена  x² +y²+z²=1,  z = 0,  y = 0,  х = 0, x>0, y>0, z>0

Т. Вычислить площадь, ограниченную линиями: y = x², 4y = х², х = 2, x= -2

 У. С помощью двойного интеграла вычислить площадь половинки лепестка четырехлепестковой розы ρ = 3 cos 2φ

ФХ. Вычислить , где 0x1, 0y1.

ЦЧ. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , x = 0, y = 0, z = 0.

ШЩ. Вычислить ,   для D: y =1   и  y = x² , где 0x 1

 ЬЫ.  Вычислить площадь, ограниченную линиями: xy=4, y=x, x=4

 ЭЮ. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z²=xy, x=1, x=0, y=1, y=0

 Я. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

 z=x+y+1, y²=x, x=1, z=0, y=0, y>0