20

Лабораторная работа № 3 основные законы регулирования в промышленных сар

3.1 Цель работы

Целью данной лабораторной работы является изучение основных законов автоматического регулирования и их влияние на качество работы САР.

Лабораторная работа предназначена для студентов изучивших теоретические основы электротехники и умеющих работать на персональном компьютере в среде операционных систем Windows.

Для анализа предлагается рассмотреть модели систем автоматического регулирования в среде прикладной программы EWB.

Перед выполнением лабораторной работы необходимо изучить прикладной пакет программ EWB по методическим пособиям один и два.

Модели исследуемых систем автоматического регулирования выполнены на пассивных и активных элементах электрических цепей. Задающее воздействие поступает на вход исследуемого звена с источника постоянного напряжения. Входной и выходной сигналы могут контролироваться с помощью вольтметров, амперметров и осциллографа.

3.2 Краткие теоретические сведения

Под законом регулирования, или, в общем случае, законом управления понимается математическая форма преоб­разований задающих воздействий, возмущений, воздействий обратных связей, определяющих управляющие воздействия u(t). Иными словами, это функциональная зависимость, в соот­ветствии с которой управляющее устройство (УУ) формирует управляющее воздействиеu(t). Она может быть представлена в следующем виде:

u(t) = F(x, g, f),(1)

где F - некоторая, в общем случае нелинейная, функция от ошибки х, задающего g и возмущающего fвоздействий, от их производных и интегралов по времени. Выражение (1) можно записать в виде

u(t) = F₁(x) +F₂(g) +F₃(f). (2)

Здесь первое слагаемое соответствует регулированию по отклонению (принцип Ползунова-Уатта), второе и третье - регу­лированию по внешнему воздействию (принцип Понселе).

Мы рассмотрим только линейные законы, когда УУ (регуля­тор) вырабатывает величину u(t) в функции ошибки в соответ­ствии с линейной формой:

(3)

или в операторной форме

(4)

Для упрощения дальнейшего анализа сделаем следую­щие предположения о схеме рассматриваемой САP. Допустим, что это замкнутаяCAPи ее функциональная схема соответст­вует рисунку 1.

Предположим, что обратная связь временно разорвана, в этом случае управляющее воздействие определится следующим выражением:

u(t) = W_рег(p)x(t), (5)

где x(t) – рассогласование на выходе элемента сравнения;

W_рег(p) – передаточная функция цепи регулирования.

Регулируемая величина может быть найдена из выражения:

y(t) = W_o(p)u(t)+ W_f(p)f(t), (6)

где W_o(p) - передаточная функция объекта регулирования (ОР) по регулирующему воздействию;

W_f(p) - передаточная функция ОР по возмущающе­му воздействию.

Подставляя (5) в (6), получим:

y(t)=W(p)x(t)+W_f(p)f(t), (7)

где W(p)- передаточная функция разомкнутой системы:

W(p)= W_o(p) W_рег(p) (8)

Рассмотрим теперь замкнутую систему, т.е. предположим, что элемент сравнения соединен с ОР. При этом

х (t) = g(t) - y(t). (9)

Решая совместно (7) и (9), получим для регулируе­мой величины следующее выражение:

(10)

Аналогично для ошибки получим

(11)

При рассмотрении линейных законов (3), (4) дополни­тельно предположим, что ОР представляет собой звено статического типа. Это означает, что в установившемся состоя­нии между регулируемой величиной и управляющим воздейст­вием существует пропорциональная зависимость, вытекающая из (6) при равенстве нулю возмущающих воздействий:

y_уст =k_ou_уст, где k_o = W_о(о)- коэффициент передачи объекта управления. W_о(о) –передаточная функция ОР в установившемся режиме (установившийся режим рассматривается при условии р→0).

Пропорциональное регулирование

Для простейшего безынерционного УУ закон пропорцио­нального регулирования имеет следующий вид:

u(t) = W_рег(p)x(t)= k₁x(t). (12)

Передаточная функция W_рег(p) может иметь более слож­ный вид. например:W_рег(p) =k₁(А (р)/В(р)).

Однако существенным здесь является то обстоятельство, что цепь регулирования представляет собой статическое звено и при р→0, W_рег(p) →k₁, гдеk₁- коэффици­ент передачи цепи регулирования. Заметим, что условие р→0 соответствует установившемуся режиму, так как приравнивание к нулю оператора дифференцирования означает приравнивание к нулю всех производных.

Передаточная функция разомкнутой системы согласно (8) равна W(p)=W_o(p) W_рег(p)= k₁W_o(p)

В установившемся состоянии передаточная функция стре­мится к величине

К = k₁*k_о, т.е.. Эта величина называется общим коэффициентом усиления разомкну­той цепи.

Для установившегося состояния замкнутой системы при постоянном задающем воздействии g=g_оиз формулы (11) получим следующее соотношение: , где x_ycт- установившаяся (статическая) ошибка;x_{f уст}=W_f(0)f- установившееся значение ошибки от возмущающих воздействий в ОР.

Поясним в этой связи, что ошибка (рассогласование) сис­темы x(t) обусловлена как погрешностями реальной аппаратуры, так и самим принципом построения УУ (регулятора). При этом меняющаяся в процессе регулирования так называемая динамическая ошибкаx(t) в установившемся режиме может перейти в некоторое постоянное отклонение ре­гулируемой величины отg₀=const, называемое статической ошибкой х_уст.

Из приведенной выше формулы следует, что пропорцио­нальное регулирование позволяет уменьшить установившиеся ошибки в объекте в 1+К раз. Регулирование получается стати­ческим, так как при любом конечном значении коэффициента усиления цепи установившаяся ошибка будет отличной от нуля.

Интегральное регулирование

При интегральном регулировании осуществляется пропор­циональная зависимость между скоростью изменения регули­рующего воздействия и ошибкой, т.е. du/dt=k₂x(t) .

Иными словами, регулирующее воздействие получается пропорциональным интегралу от ошибки по времени

, или в операторной форме

u(p)=W_рег(p)x(p)=(k₂/p)x(p). (13)

Передаточная функция цепи регулирования может иметь и более сложный вид, однако существенным здесь является то, что цепь регули­рования представляет собой или имеет в своем составе интег­рирующее звено.

Передаточная функция разомкнутой CAPимеет следую­щий вид :

В установившемся состоянии (р=0) передаточная функция W(p) стремится к ∞. В результате, первая составляющая ошибки (11) приg=constобращается в нуль, вторая составляющая, определяемая наличием возмущающих воздействий, может не обращаться в нуль, так как в установившемся состоянии числи­тель этой составляющей может также стремиться к ∞. Поэтому должен быть найден предел следующего выражения приf=f₀=const:

который может быть как равным нулю, так и отличным от нуля.

Таким образом, при интегральном регулировании получа­ется система, астатическая по отношению к задающему воздей­ствию (астатизм первого порядка). Она может быть при этом как статической, так и астатической по отношению к возмущающим воздействиям (в астатической системе W(0) →∞).

Передаточная функция разомкнутой системы для инте­грального регулирования может быть представлена в виде

где K_v[c^-1] - коэффициент усиления разомкнутой системы. В физическом смысле K_vпредставляет собой отношение установившейся скорости изменения регулируемой величины к по­стоянной по величине ошибке х = x₀= const в разомкнутой сис­теме: K_v= (dy/dt)_уст/x₀, если цепь регулирования совместно с ОР представить в виде некоторого усилителя с входной величиной х и выходной величиной у. Коэффициент K_vчасто называют добротностью по скорости системы регулирова­ния.

Регулирование может осуществляться и по двойному инте­гралу от ошибки времени , или в операторной форме

u(p)=W_рег(p)x(p)=(k₃/p²)x(p).

Передаточная функция разомкнутой системы при таком ре­гулировании равна

где К_ε[с^-2]- коэффициент усиления разомкнутой системы, представляющий собой отношение установившегося ускорения изменения регулируемой величины к постоянной по величине ошибкех = x₀ = constв разомкнутой сис­теме:К_ε = (d²y/dt²)_уст/x₀,

Для установившегося значения имеем W(0) →∞приp→0.

Система также будет обладать астатизмом относительно задающего воздействия. Однако это будет уже астатизм второго порядка.

Ошибка, определяемая задающим воздействием в (11), будет равна нулю не только при g = const, но и при изменении задающего воздействия с постоянной скоростьюdg/dt = const.

Аналогичным образом можно получить астатизм третьего и выше порядков, вводя регулирование по третьему и высшим интегралам, т.е. осуществляя регулирование по закону

U(p)=W_рег(p)x(p)=(k₃/p^r)x(p),

где r- порядок астатизма.

Пропорциональное регулирование можно рассматри­вать как частный случай астатизма при r= 0.

Повышение порядка астатизма приводит к увеличению установившейся точности системы регулирования, но одновре­менно делает систему более замедленной в действии, т.е. сни­жает ее быстродействие, а также снижает запас устойчивости.

Для иллюстрации появления замедленности действия си­стемы с интегральным регулированием рассмотрим рисунок 2.

Рисунок 2

Предположим, что ошибка CAPначинает возрастать по ли­нейному законух = at(график 1 на рисунке 2). В системе пропор­ционального регулирования по такому же закону начнет созда­ваться управляющее воздействиеu=k₁x=k₁at(график 2 на рисунке 2).

В системе интегрального регулирования управляющее воз­действие определится по формуле (график 3 на рисунке 2). В этом случае приt = 0не только управ­ляющее воздействие равно нулю, но равна нулю и его первая производная, что обуславливает медленный ростu(t)в первые моменты времени.

В системе пропорционального регулирования рост u(t) в первые моменты времени происходит более интенсивно, так как наличие ошибки сразу дает появление управляющего воздей­ствия, в то время как в системе интегрального регулирования должно пройти некоторое время пока не «накопится». Если перейти к регулированию по двойному интегралу, то снижение быстродействия станет еще более заметным.

Изодромное регулирование

При изодромном законе регулирования осуществляется ре­гулирование одновременно по пропорциональному и интеграль­ному законам, т.е.

(14)

Здесь W(0) →∞приp→0и регулирование оказывает­ся астатическим относительно задающего воздействия.

Изодромное регулирование может осуществляться при по­мощи изодромных звеньев. Изодромное регулирование сочета­ет в себе высокую точность интегрального регулирования (астатизм) с большим быстродействием пропорционального регули­рования. В первые моменты времени при появлении ошибки система изодромного регулирования работает как система про­порционального регулирования. Это определяется первым сла­гаемым в (14). В дальнейшем система начинает работать как система интегрального регулирования, так как с течением вре­мени преобладающее значение начинает приобретать второе слагаемое в законе (14).

Регулирование по производным

При регулировании по первой производной от ошибки реа­лизуется зависимость

, где- символ дифференцирования. Регулирование по производной не имеет самостоятельного значения, так как в установившемся состоянии производная от ошибки равна нулю и регулирование прекращается. Однако оно может играть весьма большую роль в переходных процессах и вообще в динамике в качестве вспомогательного средства, так как такое регулирование позволяет учитывать не только нали­чие ошибки, но и тенденцию к ее росту или уменьшению.

При осуществлении регулирования по закону

(15)

в системе образуется управляющее воздействие даже в том случае, если х= 0, dx(t)/dt≠0.

Так, например, в рассмотренном выше случае (рисунок 2) при х(t)=at управляющее воздействие, определяемое вторым слагаемым в (15) возникает уже приt = 0. В результате вве­дение регулирования по производной от ошибки увеличивает запас устойчивости, увеличивает скорость реакцииCAPобеспечивая «опережающее регулирование», повышает ее быстродействие, что при­водит к снижению ошибок в динамике.