
Розділ 4. Похідна та її застосування. Інтеграл
Приклад
4.1. Знайти
рівняння прямої, яка проходить через
точку з координатами
дотикається графіка функції
і перетинає у двох різних точках графік
функції
Позначимо
через х=х0,у=у0
координати
точки, в якій пряма дотикається графіка
функції
.
Оскільки
то
її рівняння можна записати у вигляді:
За
умовою , точка
належить цій прямій, а точка (х0;у0)
– графіку функції
.
Звідси:
Отже,
дотичні до графіка функції
в точках
Мають
рівняння
Залишилося розв’язати дві системи:
Відповідь:.
Приклад
4.2. Довести,
що для функції
виконується
нерівність
Приклад
4.3. знайти
найменшу відстань від точки М(0;-2) до
кривої
Нехай
точка N(х;у)
належить графіку функції
Знайдемо
найменше значення функції
на множині
Оскільки
то найменше значення функції
на множині
дорівнює
.
Відповідь:
Приклад 4.4. Точки М і N лежать на параболах у=х2, у=-(х-6)2 відповідно. Знайти найменше значення М N.
Оскільки параболи симетричні відносно точки С(3;0), то і найближчі точки цих парабол М і N відповідно теж симетричні відносно точки С.
Тоді М N=МС+С N=2МС
Відповідь:
Приклад
4.5. Знайти
сторону рівностороннього трикутника
найбільшої площі, дві вершини якого
лежать на прямій
а
третя вершина належить фігурі, обмеженій
лініями у=х2-2х,
у=2х-1.
Використовуючи
геометричні образи заданих рівнянь,
покажіть, що в силу опуклості тієї
частини границі заданої фігури, яка
співпадає з частиною параболи у=х2-2х,
найвіддаленішою від прямої
точкою заданої фігури є точка А(х0;у0),
у якій дотична до параболи у=х2-2х
паралельна прямій
.
Відстань
d
між
цією дотичною і прямою у=2х-1 і є висотою
трикутника максимальної площі.
Відповідь:
.
Приклад 4.6. Знайти всі точки прямої, сума відстаней від кожної з яких до точок A(0), B(5), C(7), D(10) буде найменшою.
Нехай М(х) – шукана точка. Необхідно знайти всі значення хєR при яких функція
досягає мінімуму.
Відповідь: хє[5;7].
Приклад 4.7. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких функція
має
додатну точку максимуму.
Показати,
що задача зводиться до того, щоб знайти
всі а,
при кожному з яких менший корінь, а отже,
і обидва корені рівняння
додатні.
За теоремою Вієта:
Відповідь:
Приклад 4.8. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких функція
зростає
і не має критичних точок для хєR.
Якщо для всіх хєR виконується нерівність у’(х)>0, то функція у(х) не має критичних точок і зростає.
При
х=0 маємо
Якщо
і для всіх хєR
маємо:
Відповідь:
ає(6;+
Приклад 4.9. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких функція
Зростає
для всіх значень хєR
і при цьому не має критичних точок.
Задачу можна перефразувати так: знайти всі значення параметра а, при кожному з яких для довільного хєR виконується нерівність
або
найменше значення функції
на
відрізку [-1;1]
додатне:
Найменше значення m функції g(t) на відрізку [-1;1] дорівнює:
Відповідь:
Приклад
4.10. Знайти
всі значення параметра а,
при кожному з яких функція
Має
на відрізку
не менше двох критичних точок.
Задача
зводиться (в силу періодичності y=sinx)
до знаходження всіх значень a,
при
кожному з яких рівняння
має розв’язки на відрізку
На
цьому відрізку sinx<0,
причому
.
З системи
Відповідь:
Приклад
4.11.
Знайти
всі значення параметра а,
при кожному з яких хорда параболи
дотикається
до кривої
у
точці з абсцисою х=2 і ділиться цією
точкою навпіл.
Отже
у=х-3
– рівняння дотичної, проведеної до
графіка функції
з абсцисою у точці х=2. Нехай х1
і х2
– абсциси кінців хорди (розв’язки
рівняння
). Якщо корені
існують,
то їх сума дорівнює
.
Отже, задача звелася до розв’язання змішаної системи:
Відповідь: а=1.
Приклад 4.12. Знайти значення параметрів p і m, при яких мінімум функції
не
менше 1 і досягається при х=1.
+
.
Для того, щоб х=1 була точкою мінімуму, необхідно виконання умови
Оскільки
(2)
Якщо
х=1 точка мінімуму, то при
наприклад:
Із
(1)-(3) випливає, що
.
Функція
Має точку мінімуму х=1 і цей мінімум не менше 1, якщо:
Відповідь:
Приклад
4.13. Знайти
всі значення параметра а,
при кожному з яких
площа
фігури яка належить півплощині х≥0, і
обмежена прямими у=1, у=2 і кривими
буде
найбільшою. Знайти цю площу.
Розв’язуючи
відповідні системи рівнянь, знаходимо
абсциси координат точок A,
B,
C,
D:
Тоді площа криволінійної трапеції
Функція
в області
vмонотонно
спадає.
Отже,
Відповідь: