3. Визначення величини головних напруг

3.3.1 Знаходимо величину базисних інваріантів Т’_

I₁(T_σ) = -20,7+(-22)+(-0,8)=-43,5;

I₂(T_σ) =(-20,7)·(-22)+(-22) ·(-0,8)+(-0,8) ·(-20,7)–2,1² –8,4² –(-4,1)² =397,78;

I₃(T_σ) =(-20,7)·(-22)·(-0,8)+2,1·(-4,1)·8,4–(-20,7)·8,4²–(-20,7)·8,4² –(-22)·4,1²-(-0,8) ·(-20,7)² =1324,94.

3.3.2 Складаємо кубічне рівняння

σ³ - I₁(T_σ)σ² + I₂(T_σ)σ – I₃(T_σ) = 0 (3.3.1)

3.3.3 Кубічне рівняння загального вигляду (канонічне)

x³ + rx² + sx + t = 0

потрібно подати як наведене

де

У даному випадку

(3.3.2)

3.3.4 Визначаємо знак дискримінанта наданого рівняння

(3.3.3)

Дискримінант має бути завжди менше ніж 0, оскільки Т_ симетричний.

При Д<0 кубічне рівняння (3.3.2) має три дійсні корені 2.

3.3.5 Знаходимо корні наведеного рівняння (3.3.3). Виводимо допоміжні величини [2]

Тоді

3.3.6 Знаходимо корні канонічного рівняння (3.3.1)

σ₁ = 17,067–14,5=2,57МПа;

σ₂ = -12,34–14,5=-26,84 МПа;

σ₃ =-4,72–14,5=-19,22 МПа.

3.3.7 Перевірка правильності розв’язання за базисним інваріантом

Найбільша похибка .

3.4 Визначення напряму головних напруг

Орієнтація головних напруг у просторі характеризується направляючими косинусами l_i, m_i, n_i де i – індекс головної напруги.

Потрібні за початковим тензором напруг у довільній системі координат і величині головних напруг визначити їх орієнтації в довільній системі координат.

Для визначення l_i, m_i, n_i потрібно використовувати рівняння напруг на похилому майданчику [3] спільно з рівнянням Ейлера. Після перетворень маємо

.

Під час розрахунку кожної трійки l_i, m_i, n_i брати два з трьох рівнянь напруг на похилому майданчику та рівняння Ейлера.

Приклад: початковий тензор

Визначити

3.4.1 Визначаємо напрямок головної напруги σ₁

Виразимо тачерез

Знаходимо

Отримаємо два варіанти наборів направляючих косинусів:

1-й варіант	2-й варіант

3.4.2 Визначаємо направлення головної напруги σ₂

Отримаємо два варіанти наборів направляючих косинусів:

1-й варіант	2-й варіант

3.4.3 Визначаємо направлення головної напруги σ₃

Після розрахунків отримаємо

1-й варіант	2-й варіант

3.4.4 Проводимо перевірку правильності визначення величин направляючих косинусів. Дані заносимо до таблиці 3.

Таблиця 3.3 – Значення направляючих косинусів

Х	0,1378	±0,3099	±0,9408
Y	0,8565	0,5143	±0,0439
Z	±0,4979	0,7994	±0,3363

Верхні знаки належать до 1-ого варіанту, нижні – до другого. Сума квадратів косинусів по стовпцях таблиці має дорівнювати (з урахуванням похибки обчислень).

Для вибору варіанту використовуємо умови ортогональності вісей 1, 2, 3

l₁m₁ + l₂m₂ + l₃m₃ = 0;

(0,1378)(±0,3099) + (0,8565)  (±0,5143) + (±0,4979)  (0,7994) = 0

Доданки взаємно скоротяться, якщо взяти 1-й або 2-й варіанти наборів направляючих косинусів. Вибираємо 1-й варіант.