2. Визначення компонент тензора напруг у новій системі координат

Закон перетворення компонент тензора під час повороту вісей координат (див. формулу 3.1.1) дано в скороченому, тензорному записі, що має на увазі підсумовуванні за («немому») індексом, що повторюється.

Перейдемо від скороченого запису до розгорненого. При цьому будемо мати на увазі, що в системі координат х, у, z кожний з індексів i, k, l, m може набувати значення х, у, z відповідно до позначень вісей координат.

Хай і = x, k = x. Тоді σ_х′х′ = σ_х′.

σ_x′x′ = α_x′x α_x′x σ_xx + α_x′x α_x′y σ_xy + α_x′y α_x′x σ_yx + α_x′y α_x′y σ_yy + +α_x′x α_x′z σ_xz + α_x′z α_x′x σ_zx + α_x′z α_x′z σ_zz + α_x′y α_x′z σ_yz + α_x′z α_x′y σ_zy

У результаті одержуємо

σ_x′ = α²_xx σ_x + α²_x′y σ_y + α²_x′z σ_z + 2α_x′x α_x′y τ_xy + 2α_x′z α_x′x τ_zx +2α_x′y α_x′z τ_yz (3.2.1)

Аналогічно для інших компонент тензора напруг

σ_y′ = α²_y′x σ_x + α²_y′y σ_y + α²_y′z σ_z + 2α_y′x α_y′y τ_xy + 2 α_y′y α_y′z τ_yz + 2α_y′x α_y′z τ_zx (3.2.2)

σ_z′ = α²_z′x σ_x + α²_z′y σ_y + 2α_z′x α_z′y τ_xy + 2α_z′y α_z′z τ_yz +2α_z′z α_z′x τ_xz + α²_zz′ σ_z (3.2.3)

τ_x′y′ = α_x′x α_y′x σ_x + α_x′y α_y′y σ_y + α_x′z α_y′z σ_z + α_x′x α_y′y τ_xy + α_x′y α_y′x τ_xy+

+ α_x′z α_y′x τ_xz + α_x′x α_y′z τ_xz + α_x′y α_y′z τ_zy + α_x′z α_y′y τ_yz (3.2.4)

τ_x′z′ = α_x′x α_z′x σ_x + α_x′y α_z′y σ_y + α_x′z α_z′z σ_z + α_x′y α_z′x τ_xy + α_x′x α_z′y τ_xy +

+ α_x′z α_z′x τ_xz + α_x′x α_z′z τ_xz + α_x′z α_z′y τ_yz + α_x′y α_z′z τ_yz (3.2.5)

τ_y′z′ = α_y′x α_z′x σ_x + α_y′y α_z′y σ_y + α_y′z α_z′z σ_z + α_y′y α_z′x τ_xy + α_y′x α_z′y τ_xy +

+ α_y′z α_z′x τ_xz + α_y′x α_z′z τ_xz + α_y′z α_z′y τ_yz+ α_y′y α_z′z τ_yz (3.2.6)

Приклад розрахунку

За заданим тензором напруг і знайденим значенням направляючих косинусів (див. табл. 3.2) знаходимо компоненти тензора в новій системі координат, використовуючи формули (3.2.1) – (3.2.6):

σ_х′=0,623²·(-20,7)+0,38²·(-22)+0,683²·(-0,8)+2·0,623·0,38·2,1+2·0,38·(-0,683)·8,4+2·(-0,683) ·(-4,1) = -11,46 МПа;

σ_у′=0,74²·(-20,7)+(-0,57)²· (-22)+0,357²·(-0,8)+2·0,74·(-0,57)·2,1+2·(-0,57) ·8,4+2·0,74·0,357· (-4,1)=-25,94 МПа;

σ_z′=0,254²·(-20,7)+0,728²·(-22)+0,636²·(-0,8)+2·0,254·0,728·2,1+ +2·0,728·0,636·8,4+2·0,636·0,254·(-4,1)=-6,09 МПа;

τ_x′y′=0,623·0,74·(-20,7)+0,38·(-0,57)·(-22)+(-0,683)·0,357·(-0,8)+0,623·(-0,57)·2,1+0,38·0,74·2,1+(-0,683)·0,74·2,1+(-0,683)·0,74·(-4,1)+0,623·0,357·(-4,1)+0,38·0,357·8,4+(-0,683) ·(-0,57) ·8,4+(-0,683) · (-0,57) ·8,4=0,832 МПа;

τ_x′z′=0,623·0,254·(-20,7)+0,38·0,728·(-22)+(-0,683)·0,636·(-0,8)+ 0,38·0,254·2,1+0,623·0,728·2,1+(-0,683)·0,254·(-4,1)+0,623·0,636·(-4,1)+(-0,683) ·0,728·8,4+0,38·0,636·8,4=-10,92 МПа;

τ_y′z′=0,74·0,254·(-20,7)+(-0,57)·0,728·(-22)+0,357·0,636·(-0,8)+(-0,57) ·0,254·2,1+0,74·0,728·2,1+0,357·0,254·(-4,1)+0,74·0,636·(-4,1)+0,357·0,728·8,4+ +(-0,57)·0,636·8,4=22 МПа;

МПа

Для перевірки правильності визначення компонент Т’_ у новій системі координат потрібно обчислити базисні інваріанти в старій системі координат. Якщо розбіжність між ними не перевищує накопиченої помилки округлень при обчисленнях (із заданим ступенем точності, у даному випадку 10%), то компоненти Т’_ знайдено правильно: