98

10

11 7. Математические модели процессов эволюционного развития техники

7.1. Математическое моделирование процессов развития техники

Как уже отмечалось, методы математического моделирования являются наиболее общими и вместе с тем достаточно строгими методами прогнозирования. Однако при их использовании изменения характера техники во времени, как правило, не прогнозируются; характеристики определяются как результат оптимизации. Прогнозируются же входные данные, необходимые для функционирования общей математической модели. Имеется в виду прогнозирование экзогенных переменных, то есть таких, которые определяются зависимостями, не входящими в данную (основную) модель, в отличие от эндогенных переменных (в частности, показателей эффективности техники), которые являются искомыми (выходными) переменными основной математической модели.

Прогнозирование входных данных для оптимизации характеристик техники, а иногда и самих характеристик, производится одним из следующих методов, которые различаются научных основой и достоверностью результатов прогнозирования:

–составление по известным законам природы теоретических причинноследственных математических моделей, определяющих прогнозируемые процессы развития и оценки параметров этих процессов по предыстории и состоянию в настоящий момент;

–изготовления и испытания макетов и экспериментальных образцов, а также физическое моделирование;

–составление эмпирических зависимостей по статистике предыстории и настоящего времени, то есть регрессионным анализом и экстраполяцией.

99

Иногда выделяют и методы экспертной оценки, однако в большинстве случаев эксперты сами должны пользоваться указанными выше методами.

Первая группа методов базируется на установленных в науке (физике, химии, биологии и др.) закономерностях, которые используются для построения теоретических по причинно-следственным связям адекватных математических моделей прогнозируемого процесса.

Решение таких моделей для будущего времени и является прогнозом. Примерами применения причинно-следственных математических

моделей прогнозирования являются расчеты для будущих образцов техники, а именно: энергетические расчеты, расчеты прочности конструкций, деталей машин, расчеты надежности и другие. Такое прогнозирование фактически производится в отраслевых институтах промышленности, конструкторских бюро и на предприятиях при разработке новой техники или при ее совершенствовании.

Вторая группа методов также находит широкое применение. В самом деле, если бы было точно известно, что и как надо делать для реализации заданных технических характеристик, то отпала бы необходимость производить исследования, изготовлять и испытывать экспериментальные и опытные образцы; можно было бы сразу начать серийное производство.

Перечисленные методы предполагают построение соответствующих частных математических моделей. Выбор вида математической модели зависит от цели и объекта прогнозирования, наличия средств и времени для анализа требуемой точности прогнозирования.

Прогнозирование по математической модели выполняется по этапам:

–построение математической модели;

–определение по экспериментальным (статистическим) данным неизвестных параметров математической модели, которые обязательно должны быть стабильными и поэтому точнее прогнозируемыми, чем искомые функции;

–анализ точности и области применяемости математической модели и при необходимости ее корректировка;

100

– разработка прогноза и анализ его точности и достоверности. При математическом моделировании процессов как развития, так и

функционировании техники, построение математической модели часто осуществляется путем сочетания перечисленных выше трех групп. Так, при

Рис. 7.1. Сочетание математического и физического моделирования

сочетании методов первой и второй групп (рис. 7.1) одна часть исследуемого объекта прогноза, которую легко описать математически, представляется в виде математической модели, а другая, которую трудно представить аналитическими зависимостями, вводится в виде макета (или в естественном виде).

Пусть требуется определить точность полета самолета, который, как предполагается, будет управляться новым способом.

Система уравнений, определяющая точность полета, может быть разделена на следующие две системы:

–уравнения динамики самолета, описывающие движение при заданных командах управления;

–уравнения, определяющие величину команд.

Первая система уравнений является наиболее универсальной для различных типов летательных аппаратов и больше изучена, чем вторая. Кроме того, ее легче составить, так как в нее входит меньшее число параметров. Экспериментально реализовать эту часть модели в лаборатории весьма затруднительно, поэтому ее необходимо вводить в виде математической модели.

101

Вторую систему уравнений, описывающую работу системы управления ракеты, состоящую из множества элементов, трудно составить, но зато макет этой части объекта может работать в лабораторных условиях. Поэтому ее лучше вводить в виде опытного образца или макета.

Таким образом, математические модели прогнозирования и порядок сочетания перечисленных методов их применения различны в зависимости от характера и физической сущности явления (процесса).

Рассмотрим еще один пример, в ходе решения которого могут быть использованы сочетания методов первой и третьей групп.

7.2.Прогнозная математическая модель динамики замещения

Кчислу вопросов, результаты исследования которых отражают тенденции развития техники, непосредственно относится прогнозирование скорости, с которой новые образцы техники будут вытеснять предшествующие образцы данного типа. Решение такой задачи представляет собой определение динамики замещения.

В данном случае объектом прогнозирования служит процесс внедрения новой техники, который может описываться изменением в течение времени отношения числа новых образцов (комплексов), в которых применяется новая техника, к суммарному числу образцов (комплексов), где они могут использоваться.

Пусть n(t) – некоторая мера распространения новой техники в момент времени t (объем распространения);

N (t) – верхняя граница объема распространения новой техники на момент времени t , выраженная в тех же единицах, что и n(t).

При этом процесс замещения нового оборудования в некоторый момент времени t = tк значения N (tк )

0 ≤ n(t)< N(t)< ∞; n(t)≤ n(t′) при

102

n(tк )= N (tк ), n(t)→ N(tк ) при t → tк tк (0,∞).

Переменную n(t) можно назвать кумулятивной, или интегральной,

функцией внедрения новой техники, значение которой в начальный момент времени t = 0 зависит от того, что считать за начало внедрения: начало выпуска первых образцов новой техники или начальное поступление этих систем. В первом случае n(0)= 0 , в другом n(0)> 0 . Наиболее естественно первое предположение, хотя в ряде моделей может оказаться необходимым второе допущение.

В общем случае границы области распространения новой техники

изменяются с течением времени, причем это изменение не имеет прямого отношения к процессу внедрения как таковому: сфера внедрения изменяется в соответствии с изменением взглядов на применение данного вида техники (задача о долевом участии). Можно считать, что в начальный момент времени значение N(0) заметно выше нуля. Изменчивость во времени границ области внедрения может исказить характер собственно процесса замещения, поэтому в ряде случаев вполне вероятно считать эту величину неизменной.

Введем новую переменную, которая обозначает относительное внедрение новой техники в момент времени t :

m(t)= Nn((tt)).

При N (t )= const динамические характеристики m(t) совпадают с аналогичными характеристиками n(t). Можно считать, что относительная интегральная функция внедрения m(t) – монотонно возрастающая функция времени, изменяющаяся в интервале [0, 1]:

m(0)= 0 ; m(tк )=1.

103

Без существенных искажений реального процесса внедрения можно считать функцию m(t) непрерывной и дифференцируемой. Тогда дифференциальная функция внедрения

Поскольку процесс внедрения имеет верхний предел и есть процесс насыщения потребностей, то целесообразно ввести еще одну переменную, характеризующую скорость приближения процесса к концу – интенсивность внедрения. Эта переменная определяет темп приближения процесса распространения нового к уровню полного насыщения в нем. Она определяется следующим образом:

n′(t)

N (t)− n(t)

или

Функция насыщения H (t) или h(t) играет в моделировании динамики замещения центральную роль, так как она определяет конкретный вид функции

n(t) или m(t).

Несколько изменив последнее выражение, получим m′(t)= dmdt = h(t)[1− m(t)].

104

Проинтегрировав это уравнение при ранее введенных допущениях, получим

зависеть от самых различных экономических факторов, включая факторы, связанные с уровнем эффективности новой техники и относительным объемом капиталовложений на ее внедрение.

Поэтому функцию h можно записать в следующем виде: h = h{t , m (t ),[xi ]},

где [xi ] – множество экзогенных факторов, определяющих конкретный процесс замещения.

Дальнейший анализ динамики процесса замещения состоит в спецификации вида функции h , которую можно проводить исходя из эмпирических зависимостей и теоретических содержательных соображений.

Идентификацию этой функции можно провести, учитывая ее линейное приближение относительно m(t):

h = h0 + h1m(t),

где h0 – уровень насыщения при t = 0 , h1 – скорость роста функции.

Здесь предполагается, что h0 и h1 не зависят от t, но могут зависеть от экзогенных переменных [xi ].

Интегрирование дифференциального уравнения dmdt = [h0 + h1m(t )][1 − m(t )]

106

Графически функции (7.1) – (7.3) имеют вид s-образных кривых, что вполне согласуется с подавляющим большинством наблюдаемых данных. При этом интегральные функции замещения имеют точки перегиба tп, в которых скорость внедрения новой техники имеет максимальное значение.

Для функции (7.1) имеем

для логистической кривой (7.2)

s-образный вид кривых позволяет аппроксимировать массив данных, характеризующий реальный процесс распространения новой техники во времени с помощью различных известных функций распределения вероятностей.

Так, например, обобщив функцию насыщения в выражении (7.3) в виде

h0 = h(t)= b−ct c−1 ,

получим интегральную функцию насыщения в виде распределения Вейбулла:

− t c

m(t)=1−e b ,

которое имеет также точку перегиба

1

tп = b−c 1− 1c c .

Можно использовать и другие вероятностные распределения или иные аналитические зависимости, выражающие процессы с насыщением, имеющие горизонтальные асимптоты. Выбор модели можно осуществить с помощью регрессионного анализа и на основе содержательных соображений.

В качестве иллюстрации анализа динамики замещения используем относительное количество поступающих на рынок новых образцов оружия

107

военной техники (обозначенное на рис. 7.2 ступенчатой линией) на период с 1980 по 2000 г. (всего рассматривалось 156 новых образцов). В данном случае процесс замещения с достаточной точностью аппроксимируется s-образной функцией вида

m (t )= L / {a + exp [b exp (βt )]}.

После определения параметров модели получаем зависимость

m(t )= 109 ,3 / {0,093 + exp [6,997 exp (− 0,376 (t −1980 ))]},

позволяющую (см. рис. 7.2) прогнозировать динамику замещения, высокая сходимость s-образной кривой с фактическими результатами свидетельствует о том, что предлагаемая модель пригодна для практического использования.

m(t),%

80

60

40

20

108

12

13 8. Экспертные методы прогнозирования. Морфологический анализ. Прогнозирование технического облика образца изделия

Экспертные методы прогнозирования (методы экспертных оценок), как уже отмечалось, основаны на использовании в качестве основных источников информации квалифицированных специалистов в исследуемой области (экспертов) для оценки перспектив развития объекта. Это определяет основное преимущество экспертных оценок – возможность анализа и прогноза развития объекта, не имеющего достаточной «предыстории». Другим достоинством экспертных методов является возможность прогнозировать скачкообразные изменения в процессе развития объекта, производить поиск принципиально новых идей и технических решений.

Поиск принципиально новых идей и технических решений – чрезвычайно сложная и во многом творческая процедура, полностью описать и проанализировать которую не представляется возможным. Однако в последние годы и в нашей стране, и за рубежом предпринимаются многочисленные попытки для того, чтобы отобрать, систематизировать и подробно описать хотя бы часть наиболее эффективных приемов и методов технического творчества.

Наиболее общая классификация методов генерирования идей и поиска новых технических решений выделяет два основных класса таких методов:

–трансформационные методы;

–морфологические методы.

Воснове трансформационного подхода лежит идея получения искомого технического решения путем целенаправленного преобразования (трансформации) образца-прототипа без предварительного построения всего допустимого множества решений. Преобразование прототипа осуществляется с помощью набора различных эвристических приемов в одну или несколько итераций трансформации. Число таких итераций может быть достаточно велико. Цель применения данного метода – найти способы трансформации