11

моделирования: методах, основанных на теории распознавания образов и других.

В группу методов экстраполяции тенденций включают прогнозную экстраполяцию (интерполяцию), экспоненциальное и адаптивное сглаживание, методы вероятностного моделирования, корреляционные и регрессивные методы, экстраполяцию по огибающим кривым и тому подобные.

Необходимо отметить, что представленный перечень методов и их групп не является исчерпывающим. Нижние группы классификации открыты для внесения новых элементов, которые могут появиться в процессе дальнейшего развития инструментария прогностики. Некоторые не названные здесь методы являются или разновидностью включенных в схему методов, или дальнейшей их конкретизацией.

1.2. Краткая характеристика методов прогнозирования

Экспертные методы

Экспертные методы прогнозирования являются наиболее распространенными методами научно-технического прогнозирования. Они отражают индивидуальное суждение специалистов относительно перспектив развития объекта и основаны на мобилизации профессионального опыта и интуиции. Суждение о прогнозе возникает после соответствующей обработки ответов экспертов. Поистине, метод стар как мир. В древнегреческом городе Дельфи жрецы состязались в предсказании грядущего. По имени этого города в современной прогностике широко используется метод «Дельфи», представляющий собой одну из разновидностей метода экспертных оценок (оценки временных интервалов наступления события).

Экспертные методы прогнозирования используются для анализа объектов и проблем, развитие которых либо полностью, либо частично не поддается математической формализации, то есть для которых трудно разработать адекватную модель. В рамках этих методов выделяют статистическую и динамическую задачи прогнозирования. В первой из них решаются вопросы о

12

количественных и качественных изменениях, относящихся к объекту прогнозирования, безотносительно к фактору времени. Вторая задача предназначена для определения временных интервалов наступления события.

Принципиально различают коллективную и индивидуальную экспертизы. При индивидуальной экспертной оценке используются морфологический анализ, метод попарного сравнения вариантов, оценки типа интервью, аналитические экспертные оценки и некоторые другие.

Оценки типа интервью и аналитические экспертные оценки используются при составлении перспективных планов НИОКР и распределении сил на научные исследования ближайшего будущего.

Метод интервью предполагает беседу прогнозиста с экспертом, в ходе которой прогнозист в соответствии с заранее разработанной программой ставит перед экспертом вопросы относительно перспектив развития прогнозируемого объекта. Успех такой оценки в значительной степени зависит от способности интервьюируемого эксперта экспромтом давать заключения по самым различным фундаментальным вопросам.

Аналитические экспертные оценки предполагают длительную и тщательную самостоятельную работу эксперта над анализом тенденций, оценкой состояния и путей развития прогнозируемого объекта. Этот метод дает возможность эксперту использовать всю необходимую ему информацию об объекте прогноза. Свои соображения эксперт оформляет в виде докладной записки.

Существуют определенные преимущества индивидуального прогноза. Эксперт может дать глубокий и содержательный анализ развития определенной проблемы определенной области науки и техники. Однако специалисты обычно склонны преуменьшать или даже полностью игнорировать роль «смежников», роль новых разработок в других смежных областях, влияющих на область, в которой они работают. Этот недостаток полностью относится к индивидуальным экспертным оценкам типа интервью.

13

В индивидуальных экспертных оценках фактор субъективности часто преодолевается за счет того, что эксперт располагает достаточно полной информацией об опыте развития в различных взаимосвязях прогнозируемого объекта. Наиболее известным из методов этой группы является так называемый морфологический анализ. Его автор, швейцарский астроном Ф. Цвикки, на первый план выдвигает требование полноты учета при прогнозировании всех известных возможностей и свойств данного объекта. Морфологический анализ представляет собой, по определению Цвикки, «упорядоченный взгляд на вещи». Цель его – дать систематический анализ и обзор исследуемой многоплановой проблемы и тем самым способствовать более успешному использованию индивидуальной интуиции эксперта.

Коллективный разум – несомненная ценность в прогнозировании будущего. Возможно, поэтому методы коллективной экспертизы получили весьма широкое распространение и, по существу, проникли во все основные методики, относящиеся к прогнозированию науки вообще, и в частности техники, социологии, экономики и других. Коллективные экспертные методы дают хорошие результаты при прогнозировании больших, но вместе с тем конкретных научных и технических проблем.

Коллективные экспертные оценки, выражая, как правило, «среднее» мнение экспертов или мнение большинства экспертов, позволяют устранить или уменьшить предубеждение, некомпетентность, субъективность или ограниченность отдельных индивидуальных оценок. Индивидуальные мнения при этом рассматриваются как случайные величины.

Простейшими из методов коллективной экспертной оценки являются опросный (голосование) и метод комиссии, или комитета экспертов. При опросном методе прогноз составляется путем сочетаний мнений нескольких человек, которые работают в данной области и считаются в ней специалистами. В методе комиссии (комитета) несколько экспертов собираются вместе, с тем чтобы выработать согласованное мнение. Примеры применения метода: координационные, ученые (технические) советы и тому подобные. Недостатки

14

этого метода – чрезмерное влияние ведущих специалистов и проблемы личных отношений.

Один из способов преодоления консерватизма комитета экспертов состоит в умышленном стимулировании более радикального, нестандартного мышления. Этого можно достичь при так называемой «мозговой атаке», суть которой состоит в проведении совместных заседаний экспертов по определенным правилам, направленным на создание обстановки свободного высказывания суждений. Исследование эффективности «мозговых атак» показало, что групповое мышление производит на 70 % больше ценных идей, чем сумма индивидуальных мышлений.

В процедуру проведения «мозговой атаки» кроме ведущего (председателя) вводят две новые «должности» – усилителя и подавителя, которые в процессе генерации идей играют определенную роль. Усилитель, схватив суть предыдущей идеи, вносит предложение по развитию, конкретизации или уточнению этой идеи, с тем чтобы привлечь к ней более пристальное внимание остальных участников сессии и стимулировать их к более глубокому обдумыванию и развитию. К услугам подавителя ведущий прибегает в том случае, когда процесс генерации идей пошел по явно нежелательному пути и возникает необходимость «подавить» заведомо бесперспективную идею. Особенно эффективно подавители могут выступать в паре, создавая видимость «большинства». Однако этот метод имеет недостаток, заключающийся в том, что группа экспертов в своих суждениях руководствуется в основном логикой компромисса.

В свою очередь, при методе «Дельфи» вместо коллективного обсуждения той или иной проблемы проводится индивидуальный опрос экспертов, обычно в форме анкет, для выяснения относительной важности и сроков совершения гипотетических событий. Затем производится статистическая обработка анкет и формируется коллективное мнение группы, выявляются, обобщаются аргументы в пользу различных суждений и вся информация сообщается экспертам. Участников экспертизы просят пересмотреть оценки и объяснить

15

причины своего несогласия с коллективным суждением. Эта процедура повторяется три-четыре раза. В результате происходит сужение диапазона оценок. Недостатком этого метода является невозможность учета влияния, оказываемого на экспертов организаторами опросов при составлении анкет. Как правило, основными задачами при формировании прогноза с помощью коллектива экспертов являются: формирование репрезентативной экспертной группы, подготовка и проведение экспертизы, статистическая

обработка полученных документов [1].

При формировании группы экспертов основными являются вопросы определения ее качественного и количественного состава. Отбор экспертов начинается с определения вопросов, которые охватывают решение данной проблемы, затем составляется список лиц, компетентных в этих областях.

Для получения качественного прогноза к участникам экспертизы предъявляется ряд требований, основными из которых являются: высокий уровень общей эрудиции, глубокие специальные знания в оцениваемой области, способность к адекватному отображению тенденции развития исследуемого объекта, наличие академической психологической установки на будущее, наличие академического научного интереса к оцениваемому вопросу при отсутствии практической заинтересованности специалиста в этой области, наличие производственного, служебного и (или) исследовательского опыта в рассматриваемой области.

Для определения соответствия потенциального эксперта перечисленным требованиям используется анкетный опрос. Дополнительно к этому часто используют способ самооценки компетентности эксперта.

Фактографические методы

При экспертном прогнозировании мнение (прогноз) каждого эксперта является субъективным. Это обстоятельства обусловило применение фактографических методов прогнозирования, основным достоинством которых является объективность получаемой информации и высокая ее точность, а

16

также возможность механизации процесса вычисления прогнозов при применении современных вычислительных машин.

Фактографические методы можно условно разделить на две большие группы: методы моделирования и методы экстраполяции тенденций.

Методы моделирования

Методы моделирования основаны на целесообразном абстрагировании процессов развития событий в будущем. Различают следующие разновидности: логические, информационные и математические модели, аналогии, игры и так далее. В связи с широко используемыми при прогнозировании физическими моделями выделим также как самостоятельный метод физического моделирования (испытания новой техники и тому подобное).

При прогнозном моделировании наиболее широко применяются модели, основанные на дифференциальных уравнениях, вероятностные модели, а также модели статистических испытаний, реализующие метод Монте-Карло.

Основной отличительной особенностью методов моделирования, позволяющих выделить их в самостоятельные методы прогнозирования, является то, что они предусматривают получение искусственной реализации прогнозируемого процесса, по которой можно судить о протекании процесса в будущем. Причем в одних случаях необходимо относиться к этой реализации как к отдельной реализации случайного процесса, в других случаях следует придавать этой реализации некий обобщенный смысл (модели динамики средних, стохастические дуэли). Очевидно, что в первом случае для получения данных о будущем с необходимой точностью надо иметь достаточно большое количество таких реализаций, чтобы иметь возможность после соответствующей обработки получить некоторые обобщенные данные, характеризующие прогнозируемый процесс в целом. Во втором случае получение обобщенных данных в процессе обеспечивается тем, что в модель при моделировании вводятся данные, уже имеющие обобщенный смысл.

Прогнозирование при использовании моделирования заключается в переносе данных, полученных в результате моделирования, на будущую

17

ситуацию. Например, испытания модели летательного аппарата в аэродинамической трубе показали, что его конструкция обладает необходимыми свойствами, которые позволяют обеспечить требуемые режимы полета.

Математическое моделирование является наиболее общим и вместе с тем достаточно строгим методом прогнозирования. Интересные модификации получаются в результате объединения средств математического моделирования с исследованием операций. Как показывает практика разработки прогнозов, описание будущих состояний прогнозируемого объекта или возможных траекторий развития этого объекта в будущем может быть получено с помощью различных математических подходов, которые не являются непосредственно методами прогнозирования. К таким методам можно отнести вариационное исчисление, теорию распознавания образов, теорию катастроф, спектральный анализ, алгебру логики и так далее.

Методы моделирования в руках исследователя являются аппаратом для количественной оценки результатов принятых решений либо основой для выработки таких решений и предполагают широкое участие специалистов при прогнозировании.

Методы экстраполяции тенденций

Большинство параметров систем развиваются во времени относительно закономерным образом, определяя в той или иной мере черты процесса развития. Отсюда вытекает общая идея метода экстраполяции – выбрать наиболее существенные показатели, определить характер их изменения от прошлого к настоящему и распространить его на будущее, установив тем самым будущую скорость и направление его изменения.

Такой подход базируется на следующих предположениях:

– факторы, обусловливающие характер предшествующего развития, имеют тенденцию сохранять свои характеристики, а не изменять их;

18

– эффект совместного действия этих факторов проявляется в большей мере в продолжении предшествующего характера развивающегося процесса, чем в радикальном изменении его.

Таким образом, суть метода экстраполяции состоит в распространении закономерностей, сложившихся в предпрогнозный период на некоторый период в будущем.

Одним из важнейших вопросов, возникающих при экстраполяционном прогнозировании, является выбор главных (определяющих) признаков (характеристик) и определяющих их факторов. Выбор главных признаков зависит от содержательного смысла прогнозной задачи.

Разделяют динамическую (временную) и статическую задачи прогнозирования методом экстраполяции тенденций. Динамическая задача экстраполяционного прогнозирования заключается в том, что ретроспективный динамический ряд, отражающий состояние объекта прогнозирования, трансформируется на будущее по тому же закону, который сложился в прошлом. В отличие от нее статическая задача рассматривает возможность изменения объекта прогнозирования (увеличение или уменьшение параметров) безотносительно к фактору времени.

В рамках динамической задачи экстраполяционного прогнозирования выясняется изменение главных признаков в функции времени в прошлом (регрессионный анализ). Подставляя в полученную зависимость (уравнение регрессии) год прогнозирования (время упреждения), определяют изменение главного признака в будущем.

При использовании методов экстраполяции тенденций в рамках статической задачи сначала выясняют, имеется ли статическая связь (теснота) главного признака с определяющими его факторами (корреляционный анализ). При наличии статистической связи (коэффициент корреляции близок к единице) исследуемый фактор включается в модель, при отсутствии связи (коэффициент корреляции близок к нулю) фактор не учитывается.

19

Помимо собственно методов экстраполяции, имеются интересные его модификации. К числу таких модификаций относятся прогнозирование по огибающим кривым и экспоненциальное сглаживание. Суть метода прогнозирования по огибающим кривым состоит в том, что для смены одних технических формаций (поколений) другими, более перспективными, например смена поколений самолетов, ЭВМ и средств передвижения. В этом смысле благоприятную основу для относительно строгой экстраполяции создает уравнение логистической кривой, которая описывает изменение главного признака в историческом аспекте (на одном из исторических этапов). Таких этапов (по времени) может быть несколько. Иными словами, имеется ряд исторических этапов, для каждого из которых существует своя логистическая или близкая к ней кривая. Можно ожидать, что огибающие кривые будут принимать форму «большой» S-образной кривой, описанной вокруг малых S- образных кривых, характеризующих конкретные этапы. Уравнение логистической кривой имеет вид

где отношение параметров a/b характеризует предельное значение прогнозируемого признака;

m – показатель, характеризующий скорость достижения предельного уровня;

(1/m) ln(1/b) соответствует моменту времени, когда темп роста главного признака начинает уменьшаться.

При прогнозировании по огибающим кривым учитывается все многообразие факторов, сложившихся в предпрогнозный период.

Метод экспоненциального сглаживания в настоящее время является одним из основных методов построения регрессионных зависимостей для прогнозирования показателей, представленных в виде временного ряда. При прогнозировании временных рядов необходимо учитывать дисконтирование исходных данных. Очевидно, последним точкам ряда следует придавать в

20

определенном смысле большую значимость, больший вес, а наблюдения, относящиеся к прошлому, должны иметь по сравнению с ними меньшую значимость. Метод экспоненциального сглаживания, являющийся обобщением метода скользящего среднего, позволяет построить такое описание прогнозируемого процесса, при котором более поздним наблюдениям придаются большие «веса» по сравнению с ранними наблюдениями, причем «веса» наблюдений убывают по экспоненте.

Прогнозирование на базе методов экстраполяции тенденций включает в себя несколько характерных операций: приведение исходной информации к виду, удобному для предварительной интерпретации динамического ряда; аппроксимация ряда функций, дающая связь признака с фактором времени; проверка точности прогнозирования и проверка остаточного члена динамического ряда на автокорреляцию; корректирование аппроксимирующей функции в случае автокорреляции.

В методе экстраполяции тенденций весьма важным вопросом является время упреждения прогноза. Существует мнение, что оно должно равняться величине временного интервала, о котором имеется надежная статистика.

Некоторые специалисты считают, что время упреждения прогноза не должно превосходить одной трети временного интервала ретроспекции. Однако опыт уже осуществленных научно-технических прогнозов в области машиностроения и авиационной техники с использованием методов экстраполяции показывает, что с их помощью можно прогнозировать на 10-15 лет вперед.

Итак, на выбор метода прогнозирования самым существенным образом влияет срок, на который разрабатывается прогноз. Период упреждения прогноза является одним из признаков, в соответствии с которым осуществляется классификация прогнозов.

21

1.3. Виды прогнозов. Основные термины и определения прогностики

Классификация прогнозов, как и всякая другая, самым существенным образом зависит от принципа, по которому прогнозы относятся к тому или иному виду, и поэтому является достаточно произвольной.

Прогнозы, то есть научно обоснованные суждения о возможных состояниях объекта в будущем и (или) об альтернативных путях и сроках их осуществления, подразделяются на виды по следующим основным принципам

[5]:

–по природе прогнозируемых процессов;

–по подходу к прогнозированию;

–по периоду времени, на который разрабатывается прогноз;

–по виду представления;

–по стадии жизненного цикла (для технических объектов и систем).

По природе прогнозируемых процессов прогнозы можно классифицировать как экономические, социальные, научно технические, военные, политические и так далее.

По подходу к прогнозированию прогнозы можно классифицировать как поисковые, нормативные и комплексные (сочетающие оба вида). Поисковым прогнозом называется такой, содержанием которого является определение путей и сроков достижения возможных состояний объекта прогнозирования в будущем, принимаемых в качестве цели.

Поисковый прогноз рассматривает объект как динамическую систему, обладающую некоторой инерцией, и основан на изучении сложившихся в прошлом закономерностей для распределения их на будущее.

Нормативный прогноз начинается с формирования какой-либо генеральной цели, как правило, определенной на этапе поискового прогноза, а затем в соответствии с нею последовательно намечаются этапы (подцели), выполнение которых должно перевести объект из начального состояния к намеченной цели в будущем.

22

Таким образом, нормативный прогноз отражает необходимые потребности (в идеях, ресурсах и т. д.) и имеет направленность от будущего к настоящему. Поисковый прогноз определяет вероятность достижения цели или состояния объекта, а также сроки их наступления, то есть как бы зондирует будущее, отталкиваясь от существующего уровня исследуемого объекта прогнозирования.

Заметим, что только на основе научно обоснованного комплексного прогноза, включающего поисковый и нормативный этапы, возможна стыковка возможностей и потребностей. В случае неувязки потребностей в осуществлении целей и возможности ее достижения необходимым элементом исследований является обоснование мероприятий, представляющее собой научно-исследовательские, технические, организационные и другие программы, способные заполнить образовавшийся разрыв.

Как уже отмечалось, на выбор метода прогнозирования самым существенным образом оказывает влияние срок, на который разрабатывается прогноз. Этот промежуток времени называется периодом упреждения прогноза. В зависимости от периода упреждения прогнозы подразделяются следующим образом:

–оперативный – до 1 месяца;

–краткосрочный – от 1 месяца до 1 года;

–среднесрочный – от 1 года до 5 лет;

–долгосрочный – от 5 лет до 15 лет;

–дальнесрочный – свыше 15 лет.

По виду представления прогнозы подразделяются на интервальные и точечные.

Интервальный прогноз – это прогноз, результат которого представлен в виде доверительного интервала характеристики объекта прогнозирования для заданной вероятности осуществления прогноза. При этом под характеристикой (признаком) объекта прогнозирования понимается качественное или количественное отражение какого-либо свойства объекта прогнозирования.

24

Точечный прогноз – это прогноз, результат которого представлен в виде единственного значения характеристики объекта прогнозирования без указания доверительного интервала.

Как же распределяются научно-технические прогнозы, проводимые для различных этапов жизненного цикла технической системы, в зависимости от приведенной градации прогнозов по периоду упреждения?

На рис. 1.1 показана структура и соотношение элементов, входящих в область прогнозирования техники. По оси ординат условно отложены различные уровни научно-технических работ, а по оси абсцисс – примерный срок реализации каждого уровня. Видно, что прогнозирование ограничено долгосрочными прогнозами, период упреждения которых не превышает 15 лет. Источники информации в виде законченных НИР, а также в виде патентов и промышленных образцов дают опережающую информацию (от 10 до 20 лет) для разработки прогнозов внедрения передовых технических решений и технологических процессов.

Прогнозирование развития науки лежит в диапазоне дальнесрочных прогнозов (период упреждения свыше 15 лет) и является менее исследованной областью.

Схему можно интерпретировать как причинно обусловленную связь уровней и генерированных ими источников информации (сверху вниз). Позитивные результаты поисковых теоретических исследований создают предпосылки для постановки конкретных исследовательских тем (планируемые НИР). На уровне законченных НИР формируется заявочный фонд (уровень патентования), который способствует проектным разработкам образцов новой техники, созданию опытных образцов и внедрению их в серийное производство. Современное состояние производства характеризуется так называемой «нулевой» новизной, то есть не является источником опережающей информации при разработке прогнозов.

25

Таким образом, прогнозирование развития систем может базироваться не только на периоде основания прогноза, то есть промежутке времени, на базе которого строится прогноз, но и на источниках позитивной информации о будущем.

26

5

6 2. Прогнозная экстраполяция.

Оценка параметров прогнозных моделей методом наименьших квадратов.

Точность и достоверность прогноза

Основу экстраполяционных методов прогнозирования составляет изучение временных рядов, представляющих собой упорядоченные во времени наборы измерений тех или иных характеристик исследуемого объекта, процесса. Временной ряд yi может быть представлен в следующем виде:

Yt=xt+et ,

где xt – детерминированная неслучайная компонента процесса; et – стохастическая случайная компонента процесса.

Если детерминированная компонента (тренд) xt характеризует общее направление развития, основную тенденцию временного ряда, то стохастическая компонента et отражает случайные колебания, или шумы, процесса. Обе составляющие процесса определяются каким-либо функциональным механизмом, характеризующим их поведение во времени. Задача прогноза состоит в определении вида экстраполирующих функций xt и et на основе исходных эмпирических данных.

Первым этапом экстраполяции тренда является выбор оптимального вида функции, описывающей эмпирический ряд. Для этого проводятся предварительная обработка и преобразование исходных данных в целях облегчения выбора вида тренда путем сглаживания и выравнивания временного ряда, а также формального и логического анализа особенностей процесса. Следующим этапом является расчет параметров выбранной экстраполяционной функции.

Наиболее распространенными методами оценки параметров зависимостей является метод наименьших квадратов и его модификации, метод экспоненциального сглаживания и метод вероятностного моделирования.

27

2.1. Оценка параметров прогнозной модели методом наименьших квадратов

Сущность метода наименьших квадратов (МНК) состоит в отыскании параметров модели тренда, минимизирующих ее отклонение от точек исходного временного ряда, то есть

ˆy = f (xi ,a1 ,a2 ,...,ak ,t),

где xt – независимые переменные; at ,...,ak – параметры модели; t – время,

то, для того, чтобы найти параметры модели, удовлетворяющие условию (2.1), необходимо приравнять к нулю первые производные величины S по каждому из коэффициентов a j , j =1,k . Решая полученную систему уравнений с k

неизвестными, находим значения коэффициентов a.

Использование процедуры оценки, основанной на МНК, предполагает обязательное удовлетворение целого ряда предпосылок, невыполнение которых может привести к значительным ошибкам.

1.Нормальность. Случайные ошибки (значение случайной компоненты) имеют нормальное распределение.

2.Случайные ошибки имеют нулевую среднюю, конечные дисперсию и ковариации.

3.Дисперсии каждой случайной ошибки одинаковы, их величины независимы от значений наблюдаемых переменных.

28

4.Отсутствие автокорреляции ошибок, то есть значения ошибок, различных наблюдений независимы друг от друга.

5.Значение наблюдаемых переменных свободны от ошибок измерения и имеют конечные средние значение и дисперсии.

В практических исследованиях в качестве модели тренда в основном

используют следующие функции: линейную

y = a +bx +cx2 ; параболу третьей степени y = a +bx +cx2 + dx3 ; степенную y = xn ; показательную y = ax ; экспоненциальную y = aebx ;

модифицированную экспоненциальную y = aebx +c ; логистическую

сводимая к линейной, форма, как наиболее простая и в достаточной степени удовлетворяющая исходным данным. В этом случае при постановке динамической задачи прогнозирования уравнение регрессии имеет вид

где ˆyt – вычисленное значение yt , соответствующее моменту времени t.

а и b – константы, которые обращают сумму квадратов отклонений фактических значений yt от вычисленных ˆyt в минимум.

Используя метод наименьших квадратов, можно составить систему

29

решая которую, получим уже систему нормальных уравнений:

где b называют коэффициентом регрессии (не путать с коэффициентом корреляции), он характеризует наклон линии регрессии (тангенс угла наклона);

где a называют начальным или свободным коэффициентом, он характеризует уровень пересечения линии регрессии с осью ординат y, то есть равен ˆyt при t = 0 .

Система нормальных уравнений существенно упрощается, если начало отсчета времени перенести в середину динамического ряда путем преобразования независимой переменной:

τi = ti − 1 ∑n ti ,

n i −1

t =1

После того, как определены коэффициенты модели (2.2), точечный прогноз для момента времени tk может быть осуществлен по уравнению регрессии

Рассмотренный механизм метода наименьших квадратов позволяет с необходимой точностью аппроксимировать действительное развитие процесса с помощью полиномиального тренда, то есть представить зависимую переменную y как функцию времени в виде многочлена

где a j – параметры; t – время;

λ – степень полинома.

Оценки параметров a0 ,a1 ,...,aλ получают, исходя из решения системы нормальных уравнений, развернутая запись которых имеет вид (здесь, как и ранее, переменные xi заменены на характеристики времени ti; знак Σ означает

32

для параболы третьей степени получим

∑ ytt3 = a∑t3 +b∑t4 + c∑t5 + d ∑t6 ;

Поскольку полиномы выше третьей степени при обработке динамических рядов встречаются крайне редко, то нормальные уравнения для них приводить не будем.

Составление нормальных уравнений можно упростить, воспользовавшись тем, что величины ∑t , ∑t2 , … не зависят от конкретных значений (уровней)

динамического ряда. Если последний состоит из уровней, равноотстоящих друг от друга (а именно с такими рядами чаще всего имеет дело исследователь), то суммы ∑t , ∑t2 , … являются функциями только числа членов в

динамическом ряду. Для них легко получить расчетные формулы, в частности

∑t = 12 [n(n +1)]

∑t2 = 2n +1 ∑t = n(n +1)(2n +1)

3 6

∑t3 = (∑t)2 = 14 [n2 (n +1)2 ]

33

Во всех приведенных здесь формулах суммирование производится от t=1 до t=n. Значения сумм табулированы для широкого диапазона величин n.

Рассмотрим для примера оценки параметров прямой динамический ряд типовых объектов; соответствующие уровни yt и произведения ytt приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1. Сводная таблица для оценки параметров

Всоответствии с вышеприведенными формулами

∑t = n(n +1)= 14(14 +1)=105 ; 2 2

∑t2 = 2n3+1∑t = 2 143 +1 105 =1015 .

Всоответствии с системой уравнений (2.3) систему нормальных уравнений запишем в виде

Решение этой системы дает

a = 141 (2688 + 4,41 105)= 225,1.

Уравнение регрессии, следовательно, имеет вид

ˆyt = 225,1− 4,41t ,