При t = t0, uc = U0, поэтому uc U0 t . t0

Напряженность ЭП

Eu U0t . d dt0

При изменении ЭП возникает ток смещения. Плотность тока смещения

Jсм dD 0U0 . dt dt0

Направление тока смещения указано на рис. 11.2.6. Ток смещения возбуждает МП:

H JсмdS 0U0r . 2 r 2t0d

dS r 2 . Направление вектора ЕН также показано на рисунке.

Вектор Пойнтинга направлен внутрь выбранной поверхности.

11.3. Электромагнитное поле в электротехнических устройствах

11.3.1.Поверхностный эффект в электротехнических устройствах

11.3.1.1.Явление поверхностного эффекта

Электротехнические устройства в качестве своих элементов имеют проводники, служащие для проведения электрического тока, и магнитопроводы, служащие для проведения магнитного потока. В тех случаях, когда электротехнические устройства связаны с источниками постоянного напряжения, возникающие токи и магнитные потоки равномерно распределяются по сечению соответствующих элементов. При питании устройства от источника переменного тока (например, синусоидального тока) возникающие в элементах токи и потоки распределяются по сечениям неравномерно. Переменный ток имеет наименьшую плотность на оси провода и наибольшую у его поверхности. Аналогично распределяется и переменный магнитный поток в проводящем теле.

Оба эти случая являются результатом поверхностного эффекта (скинэффекта), связанного с неравномерным распределением ЭМП в проводящей среде из-за затухания электромагнитной волны.

Ранее было показано, что переменное ЭМП поле быстро затухает по мере проникновения в толщу проводящей среды. Это приводит к неравномерному распределению поля по сечению провода, а следовательно, к неравномерному распределению тока и магнитного потока. В установившемся режиме эти величины имеют максимальное значение у поверхности провода.

Поверхностный эффект в большинстве случаев является вредным явлением, так как он увеличивает сопротивление провода переменному току и магнитное сопротивление переменному магнитному потоку. В некоторых случаях явление поверхностного эффекта используется, например, в установках для индукционного поверхностного нагрева и закалки.

11.3.1.2. Поверхностный электрический эффект в прямоугольной шине

Решение такой задачи имеет очень важное значение в электромашиностроении. Все электрические машины имеют пазы на подвижной и на неподвижной частях (у ряда машин только на одной из частей

– подвижной или неподвижной), в которые уложены обмотки, состоящие из проводников разной формы сечения (например, прямоугольной, круговой цилиндрической и т. д). В этих проводниках проявляется электрический поверхностный эффект.

Расположим оси декартовой системы в соответствии с рис. 11.3.1,а. Обозначим: I - ток по шине, b - ширина, h - высота паза. Магнитная проницаемость шины . Магнитную проницаемость ферромагнитного материала, в котором сделан паз, полагаем очень большой, теоретически стремящейся к бесконечности. При этом допущении индукция в ферромагнитном материале будет конечна, а напряженность поля в нем будет

стремиться к нулю. В шине H направлена по оси Oy , E - по оси Ox . Вектор Пойнтинга направлен по оси Oz . Электромагнитная волна проникает из диэлектрика в шину через наружную поверхность mnsq и по мере проникновения в шину затухает по амплитуде.

Графики модулей H и E по высоте шины изображены на рис. 11.3.1, б,в.

11.3.1.3. Поверхностный электрический эффект в круговом цилиндрическом проводнике

Предположим, что характеристики ЭМП изменяются во времени по гармоническому закону. Совместим ось z круговой цилиндрической системы координат r, , z с осью провода (рис. 11.3.2). Провод считаем длинным, что

где b0 ,b1 - модули; 0 , 1 - аргументы функций.

11.3.1.4. Поверхностный магнитный эффект в плоском ферромагнитном листе

Для уменьшения потерь на вихревые токи и для более равномерного распределения магнитного потока по сечению магнитопроводы мощных электротехнических устройств (электрических машин, трансформаторов и т. д.) собираются из ферромагнитных листов, изолированных друг от друга. Рассмотрим, как распределяется магнитный поток в одном из таких листов.

а) б)

Рис. 11.3.3. Плоский ферромагнитный лист

Пусть в плоском листе толщиной a , высотой h и длиной l направление магнитного потока совпадает с осью Oy (рис. 11.3.3,а), и магнитный поток изменяется во времени синусоидально. Как и в расчете, при равномерном распределении потока по сечению принимается, что h a , l a и const . Тогда искажением поля у краев пластины можно пренебречь и считать, что в пластину с двух сторон проникает плоская электромагнитная волна, для которой справедливы уравнения (11.3.4). Следовательно, опуская индексы x и y , можно написать:

Поскольку электромагнитные волны входят в лист с двух сторон, то значения индукции B при z 0,5a равны между собой. Это приводит к

равенству A2 A1. Таким образом,

где B0 2A1 - комплексное действующее значение индукции в середине

сечения листа ( z 0 ).

Среднее значение комплексного действующего значения вектора магнитной индукции

Переход от комплексов к действующим значениям требует вычисления модулей комплексов shpz,chpz и p :

shpz 2 sh(kz jkz)sh(kz jkz) 0,5(ch2kz cos 2kz) , chpz 2 ch(kz jkz)ch(kz jkz) 0,5(ch2kz cos 2kz) , p 2k .

Таким образом,

Bср Bka0 chka cos ka .

Наибольшее значение индукция имеет у поверхности листа:

Be B0 0,5(chka cos ka) . (11.3.17)

Зависимости действующих значений вектора магнитной индукции и вектора плотности тока от координаты z представлены на рис. 11.3.3,б.

При значении параметра ka 0,5 a 2, что имеет место при f=400 Гц,1000 0 , 107 См/м и a =0,5 мм, отношение Be / B0 =1,3, но уже при ka =4, т. е. a =1 мм, Be / B0 =3,7. Поэтому неравномерность распределения магнитного потока по сечению может считаться допустимой при значениях ka <2.

совпадающей с выведенной в предположении равномерного распределения потока.

Так как ka 0,5 a , то при увеличении частоты для сохранения той же

величины потерь приходится уменьшать толщину листа или применять прессованные сердечники из ферритов.

11.3.2. Эффект близости для двух параллельных токопроводящих шин

Рассмотренное неравномерное распределение магнитного потока и тока по сечению проводника относится к уединенному проводнику. Если близко расположены несколько проводников с переменными токами, то неравномерное распределение тока в каждом из проводников будет определяться не только его собственным полем, но и полями остальных проводников. Это явление называется эффектом близости и имеет существенное значение для некоторых электротехнических устройств.

Пусть две плоские шины толщиной a , высотой h a расположены параллельно друг другу на расстоянии b h (рис. 11.3.4).

Рис. 11.3.4. Две плоские параллельно расположенные шины

Длина шин l b и искажения поля у концов и краев шин в расчете не учитываются. Материал шин обладает постоянными магнитной проницаемостью и удельной проводимостью . По шинам протекают в

разных направлениях токи I частоты , одинаковые по величине.

Оси координат указаны на рис. 11.3.4,а. Начало координат находится посередине между шинами.

При принятых условиях поле является плоскопараллельным и вектор H имеет практически лишь одну составляющую H y = H . Все величины являются

функцией только одной координаты x .

Общее решение уравнения для комплексного действующего значения напряженности МП имеет вид

11.3.3.Распространение электромагнитного поля

вкоаксиальном кабеле

Рассмотрим передачу энергии по коаксиальному кабелю длиной l от генератора с постоянной ЭДС Е к нагрузке с сопротивлением RH (рис. 11.3.5). Удельная проводимость внутренней жилы кабеля и наружного цилиндра (оболочки) - .

Рис. 11.3.5. Распространение ЭМП в коаксиальном кабеле

Для того чтобы судить о распространении энергии в пространстве, необходимо найти вектор Умова-Пойнтинга в сечении, перпендикулярном к оси кабеля на расстоянии z от его конца.

Ток в кабеле находится в виде

представляет собой сумму сопротивлений внутренней жилы и оболочки кабеля, а R0 - сопротивление единицы длины кабеля.

Напряжение между жилой и оболочкой в рассматриваемом сечении

Радиальная составляющая напряженности ЭП в любой точке изолирующего слоя на расстоянии r от оси кабеля в этом сечении равна

r0

составляющая вектора Умова-Пойнтинга по мере удаления от оси кабеля убывает обратно пропорционально квадрату радиуса:

Таким образом, электромагнитная энергия, распространяясь вдоль кабеля, имеет большую плотность ближе к внутренней жиле кабеля.

Рис. 11.3.6. Распределение вектора Умова-Пойнтинга в коаксиальном кабеле

Наличие хотя и небольшой осевой составляющих напряженности ЭП приводит к тому, что вблизи поверхности проводника и внутри его имеется радиальная составляющая вектора Умова-Пойнтинга Пr .

Эта составляющая вектора П направлена внутрь проводов кабеля и выражает собой плотность потока энергии, идущей в единицу времени на нагрев проводов кабеля. Естественно, чем больше , тем меньше эта составляющая. Внутри проводов Пz =0, так как Er =0.

На рис. 11.3.6 схематически показан вектор Умова-Пойнтинга в изоляции, в жиле и в оболочке кабеля.

Рассмотрим несколько различных замкнутых поверхностей и убедимся, что поток вектора Умова-Пойнтинга, входящий внутрь этих поверхностей, равен мощности, потребляемой внутри этих поверхностей.

Для поверхности S1 (рис. 11.3.5) поток вектора Умова-Пойнтинга, входящий внутрь этой поверхности, выразится в виде

Интегрирование производилось только в пределах изоляции кабеля, так как внутри проводов вектор П лежит в плоскости интегрирования нормальной оси кабеля П = Пr , а вне кабеля H =0 и, следовательно, П =0. Результат

интегрирования дает общую мощность, выделяющуюся в нагрузке и в проводах кабеля внутри поверхности интегрирования.

Для поверхности S2 аналогично (11.3.35) поток вектора П , входящий внутрь этой поверхности, равен - U2 I . Отрицательный знак означает, что

потребление мощности внутри области интегрирования отрицательно или что в данном объеме вырабатывается энергии больше, чем потребляется.

Для поверхности S3 , окружающей подобно чулку участок внутренней жилы кабеля длиной a , получаем, что на торцевых участках поверхности ( ST r02 ) вектор П лежит в плоскости интегрирования Пz =0, П = Пr , а на остальной цилиндрической части поверхности ( Sц 2 r0a ) его радиальная составляющая Пr нормальна к поверхности интегрирования и постоянна по величине:

поток вектора Умова-Пойнтинга входящий через рассматриваемую поверхность S3 , равен мощности, идущей на нагрев участка жилы,

находящегося внутри поверхности S3 .

Из рассмотренного примера видно, что распространение электромагнитной энергии от источника к потребителю, не происходит по проводам, как это иногда неправильно говорится. Энергия движется в пространстве вдоль проводов, а провода являются направляющими, концентрирующими передаваемую энергию и поглощающими ее часть, идущую на их нагрев. Если воспользоваться аналогией между передачей электроэнергии „по проводам" и движением воды в канале, то прилегающая к проводам непроводящая среда является вместилищем электромагнитной энергии и

аналогична объему, заполняемому водой в канале, а поверхность проводов аналогична поверхности воды в канале. Расход электрической энергии на нагрев проводов аналогичен потерям воды, просачивающейся в грунт берегов и дна канала, а также испаряющейся с ее открытой поверхности.

Теорема Умова-Пойнтинга дает возможность судить о передаче и распространении электромагнитной энергии как в линиях электропередач, так и в различных электротехнических устройствах.

Заключение

В настоящее время специальные дисциплины ставят перед курсом «Теоретические основы электротехники, Электромагнитное поле» задачи расчёта и исследования процессов, характеризуемых токами, напряжениями, мощностями, электромагнитными потоками и т. д.

Во всех современных электротехнических устройствах, предназначенных для различных технических целей, происходят те или иные энергетические преобразования, для изучения которых необходимы знания по теории электромагнитного поля.

Одной из задач дисциплины «Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле» является изучение как с качественной, так и с количественной стороны электромагнитных явлений и процессов, происходящих в различных электротехнических устройствах.

Эта дисциплина даёт студенту в достаточно общей форме знание качественных и количественных соотношений для электромагнитных явлений и процессов и намечает основные пути для решения задач, которые ставят специальные дисциплины.