Количество оборотов в минуту диска определяется из соотношений:

где n1 - количество оборотов диска в секунду; n – количество оборотов в минуту.

11.2.Переменное электромагнитное поле в проводящей среде

11.2.1.Особенности электромагнитных волн

Одной из чрезвычайно важных особенностей уравнений Максвелла является то, что они описывают ЭМП в отсутствие электрических зарядов и токов. Из этих уравнений следует, что созданные однажды ЭМП способны самостоятельно существовать вне зависимости от того, действует ли создавший их источник, или он уже прекратил свое существование. На любом расстоянии от источника электромагнитного возмущения переменные ЭП и МП автоматически поддерживают друг друга: изменение во времени одного из них служит источником возникновения другого. Появление в той или иной точке пространства ЭМП можно объяснить следующим образом: созданное источником электромагнитное возмущение распространяется в пространстве в виде электромагнитных волн с конечной скоростью (в вакууме или в воздухе со скоростью света c 3 108 м/сек). Несколько другими словами: созданные источником электромагнитные возмущения вызывают изменение свойств пространства сначала вблизи источника, а затем эти изменения свойств распространяются в пространстве. При этом самих физических волн нет, но, так как изменение свойств происходит в направлении распространения ЭМП с конечной скоростью, кажется, как будто в пространстве перемещается электромагнитная волна. Под волной понимается процесс распространения состояния материальной среды, или его возбуждения, без переноса массы или вещества самой среды.

В любой электромагнитной волне, распространяющейся в свободном пространстве, векторы E и H взаимно-перпендикулярны и каждый из них перпендикулярен к направлению распространения волн. А это означает, что

такие электромагнитные волны являются поперечными. В несвободном пространстве (волновод, световод) волны могут иметь продольную составляющую (в жидкостях и газах упругие волны могут быть только продольными).

Хотя поле электромагнитной волны и обладает тем специфическим свойством, что оно способно существовать и в отсутствие каких-либо заряженных частиц, тем не менее, чтобы создать электромагнитную волну, заряды все же нужны. Если заряды покоятся, то они создают вокруг себя только ЭСП и никаких волн не будет. Если заряды будут двигаться с постоянной скоростью, то и это не приведет к появлению электромагнитных волн: всегда найдется такая инерциальная система, связанная с зарядом, в которой заряд будет просто покоиться. С точки зрения наблюдателя этой системы и других инерциальных систем, волн быть не должно. Таким образом, чтобы излучать, заряд должен двигаться с ускорением.

Электромагнитные волны обладают рядом свойств, которые являются общими для всех видов волн (звуковых, сейсмических и др.).

Поверхность равных фаз – поверхность, в любой точке которой в заданный момент времени фазы всех волн одинаковы. Поверхность равных фаз называется также фронтом волны. Если поверхность равных фаз – плоскость, перпендикулярная к распространению волны, волна называется плоской. Если поверхности равных фаз – сферы и цилиндры – волны соответственно

сферические и цилиндрические. Когерентные волны – волны, разность фаз которых постоянна, т. е. не меняется со временем. В точках, где две когерентные волны приходят в фазе, они усиливают друг друга, где - в противофазе, они ослабляют друг друга – в результате получается интерференционная картина. Если падающая и отраженная волны одинаковы, то при интерференции в местах, где фазы совпадают, образуются пучности, а где фазы противоположны – узлы, в результате образуется стоячая волна. В стоячей волне поток энергии отсутствует: энергия в ней перемещается только в пределах, ограниченных смежным узлом и пучностью.

Фазовая скорость волны – это скорость, с которой перемещается какая-то часть волны, например гребень (амплитуда), или впадина. Линия, направление которой в каждой точке совпадает с направлением потока энергии в волне, называется лучом. Излучение волн обычно производится источниками ограниченных размеров, в результате чего возникает расходящаяся волна. На достаточно большом расстоянии от источника эту волну можно принять за плоскую.

При падении электромагнитной волны на плоскую поверхность волна частично отражается, частично преломляется. Между углами падения ( ), отражения ( 1) и преломления ( 2) существуют соотношения

где n – показатель преломления, v1 и v2 – скорости распространения волны в соответствующих средах.

Огибание тела волной (в том числе и электромагнитной) называется дифракцией. Если размеры тела малы в сравнении с длиной волны – тени нет. Если размеры тела соизмеримы с длиной волны или больше длины волны, тень есть. Переход от света к тени происходит по сложному закону с чередующимся увеличением и уменьшением амплитуды, что обусловлено интерференцией волн, огибающих тело. Дифракция наблюдается и при прохождении света через отверстие на экран позади отверстия. Чем меньше диаметр отверстия по сравнению с длиной волны, тем шире область, в которую проникает свет.

Во многих случаях скорость распространения волны (v) зависит от частоты (f). В этом случае смесь волн с различными частотами при преломлении разделяется, рассеивается – возникает дисперсия (разделение белого света на спектр частот, т. е. на цвета). Область частот, в которой

нормальной дисперсии. Область частот, в которой при увеличении f скорость v

Иногда нелинейность среды является причиной того, что амплитуда волны распространяется с другой скоростью, чем остальная часть волны, в результате синусоидальная волна превращается в пилообразную.

2.Стационарные поля (f = 0, но движение есть). Движущиеся с постоянной скоростью заряды образуют постоянные токи, а они, в свою очередь, вызывают постоянные МП.

3.Квазистатические поля охватывают переменные электромагнитные поля как низких (f > 0), так и высоких частот, но таких, чтобы токи электрической

проводимости были существенно выше токов электрического смещения (когда). Такие поля имеют место при частотах, когда D , - длина электромагнитной волны, D – поперечные размеры линии, вдоль которой распространяется волна, или поперечные размеры устройства, оборудования, в котором рассматривается электромагнитное поле. В зависимости от геометрических размеров, предельные частоты, при которых электромагнитное поле можно рассматривать еще как квазистатическое, составляют f 105...109 Гц.

4. При более высоких частотах распространения ЭМП рассматривают с помощью электромагнитных волн. Распространение электромагнитных волн в зависимости от частоты относят либо к электродинамическому режиму ( D , необходимо учитывать и токи проводимости, и токи смещения, f <1012 Гц), либо к волновому и квазиоптическому режимам (для процессов в диэлектрике и в свободном пространстве, когда доминирующими являются токи смещения,

)

Умножим выражение (11.2.3) на – 2v, а выражение (11.2.4) на 2v, получим

2v v .

t z

Подставляя полученные выражения в (11.2.2), найдем

Последнее выражение позволяет написать:

E f1( ) F1 ( ) F1 (z vt) F2 (z vt) .

В любой точке, движущейся в положительную сторону оси z со скоростью dzdt v , значения Е и Н остаются постоянными. Действительно, положение

такой точки определяется координатой z vt z0 , следовательно, величины Е и Н в этой движущейся точке имеют значения

Отсюда следует, что каждое определенное значение величины Е или величины Н распространяется в сторону положительной оси z со скоростью v, т. е. частные решения (11.2.5) представляют собой прямую волну, распространяющуюся (бегущую) в положительном направлении оси z.

Аналогично частные решения

определяют электромагнитную волну, движущуюся (бегущую) со скоростью v

Если существует только прямая или только обратная волна, то энергии МП и ЭП равны друг другу.

11.2.3. Монохроматическая плоская электромагнитная волна

Монохроматическая волна – синусоидальная волна одной частоты (моно – одни, хромо – цвет – совокупность синусоидальных электромагнитных колебаний). Таким образом, в плоской монохроматической волне векторы Е и Н меняются во времени по синусоидальному (гармоническому) закону. Пусть

E Eм(z) cos( t 1 ) .

Подставим значение Е в волновое уравнение (11.2.1), получим

решением которого является

Eм(z) E ' cos(kz 2 ) .

Тогда

EE' cos(kz 2 )cos( t 1)

E2' cos( t kz 1 2 ) cos( t kz 1 2 )

или

E Eм cos( t kz ) Eм cos( t kz ) ,

(11.2.9)

Векторы Е и Н представляются в виде суммы бегущих прямых и обратных волн. Если существует только прямая волна, то

Пусть = 0. Рассмотрим распределение волны в момент времени t 2 :

E Eм cos(90 kz) Eм cos(kz 90 ) Eм sin kz ,

H H м sin kz ; k 2 .

Распределение волны изображено на рис. 11.2.2. Отношение

HE ZB

Рис.11.2.2. Распространение плоской электромагнитной волны

имеет размерность электрического сопротивления и может рассматриваться как волновое сопротивление среды. В случае распространения волны в пустоте (в воздухе)

11.2.4. Описание электромагнитного поля с помощью стоячих волн

Выражения (11.2.9) описывают электромагнитное поле с помощью бегущих волн (прямой и обратной). Если начала отсчета времени и координаты выбрать так, чтобы и были равны нулю, то суперпозиция прямой и обратной волны дает

E Eм cos( t kz) Eм cos( t kz) 2Eм cos kz cos t ;

(11.2.10)

H H м cos( t kz) H м cos( t kz) 2H м sin kz sin t

(из основных формул тригонометрии cos cos 2cos 2 cos 2 ;

cos 2sin sin ). 2 2

Это и есть уравнения стоячей электромагнитной волны. Они состоят из двух стоячих волн – электрической и магнитной. Видно, что частота стоячей волны та же, что и у бегущих волн, амплитуда зависит от z. В точках, где cos kz 1 или sin kz 1, мы имеем максимумы – пучности, а где coskz = 0 или

sinkz = 0, - минимумы – узлы. Интервалы между соседними пучностями, или узлами, равны половине длины волны (рис. 11.2.3). В стоячей волне колебания

векторов Е и Н сдвинуты по фазе на 2 как в пространстве, так и во времени см.

(рис. 11.2.4); в бегущей волне векторы E и H совпадают по фазе, см. (11.2.9) и (рис. 11.2.2). Как видно из рис. 11.2.4, если в некоторый момент времени Е = Еmax, то в этот же момент времени Н = 0, через четверть периода картина будет обратной: Н достигает максимального значения Е = 0.

Рис. 11.2.3. Стоячие электромагнитные волны в пространстве

Рис. 11.2.4. Стоячие электромагнитные волны в пространстве и во времени

Таким образом, в процессе колебаний электрическое поле постепенно переходит в магнитное, магнитное – в электрическое и т. д.

Связь между амплитудами Ем и Нм остается прежняя:

11.2.5. Энергия и импульс электромагнитной волны

Как отмечалось в п. 11.2.1, с электромагнитной волной связан перенос энергии. В обычной изотропной среде плотность энергии электромагнитного

v

где v – скорость волны, П – величина вектора Пойнтинга, которую еще называют плотностью потока энергии.

В случае бегущей гармонической электромагнитной волны согласно

(11.2.11)

Wэм' E 2 Eм2 cos2 ( t kz) .

Плотность потока энергии из (11.2.11)

Интенсивность I такой волны по определению равна среднему значению плотности потока энергии: I = Пср, так как среднее значение квадрата косинуса

Перенос энергии электромагнитной волной сопровождается и переносом импульса. Согласно квантовой теории электромагнитные волны представляют собой поток элементарных частиц – фотонов, имеющих нулевую массу покоя и движущихся со скоростью света в вакууме (с). Энергия фотона f , а его

где р’ - импульс частицы, или импульс электромагнитной волны, отнесенный к единице объема.

Электромагнитная волна при взаимодействии с поглощающей преградой перестает существовать. Ее энергия и импульс передаются преграде – электромагнитная волна полностью поглощается преградой. Энергия электромагнитной волны преобразуется в энергию теплового движения частиц преграды (преграда нагревается).

Если описывать взаимодействие электромагнитной волны с преградой с помощью импульса волны, то импульс, сообщаемый единице поверхности в

единицу времени dpdt , равен давлению f на поверхность тела. При поглощении

электромагнитной волны цилиндрическим телом с площадью сечения, равной единице, и высотой cdt,

т. е. для поглощающей поверхности давление

В случае гармонической волны эта величина пульсирует с достаточно большой частотой, поэтому практически представляет интерес лишь ее среднее значение по времени:

Для идеально отражающей поверхности давление будет в два раза больше. Для реальной поверхности, с учетом коэффициента отражения

где R - коэффициент отражения, т. е. отношение интенсивности отраженной волны к интенсивности падающей волны.

Рассмотрим более детально механизм передачи импульса телу, т. е. как возникает давление. ЭП волны возбуждает в теле ток плотности J E , а МП

волны будет действовать на J в соответствии с законом Ампера. Сила, отнесенная к единице объема:

f ' i dl B J B EH ,

откуда следует, что сила направлена в сторону распространения волны.

Давление, вычисленное по формуле (11.2.15), оказывается в обычных условиях очень малым. Например, давление солнечного света на полностью поглощающую поверхность ~ 5 мкПа (атмосферное давление ~ 105 Па). Измерить такое экспериментально очень трудно. Впервые это удалось П. Н. Лебедеву (в 1900 г.) Его измерения дали значение, согласующееся с теорией с погрешностью до 20 %. Позднее эти измерения повторил Герлах (в 1923 г.), достигнув погрешности до 2 %.

11.2.6. Примеры решения задач

Задача 11.2.1. Вдоль оси z в вакууме распространяется плоская электромагнитная монохроматическая волна. Амплитуда напряженности ЭП Еm

= 16 В/м. Определить среднюю во времени плотность энергии волны Wэм' ср и интенсивность волны.

Решение. Средняя во времени объемная плотность электромагнитной волны

Интенсивность волны определяется как среднее значение вектора Пойнтинга:

Задача 11.2.2. Плоский конденсатор с круглыми пластинами заряжается постоянным током в течение времени t0 до напряжения U0. Расстояние между пластинами d. Проведя между пластинами коаксиальную с ними воображаемую цилиндрическую поверхность радиусом r, меньшим радиуса пластин, определить модуль и направление вектора Пойнтинга в точках поверхности

(рис. 11.2.5).

Рис. 11.2.5. Плоский конденсатор с круглыми пластинами

Решение. При зарядке конденсатора постоянным током напряжение на обкладках конденсатора