так как абсолютное значение заряда жилы или оболочки кабеля на длине l Q = τl.

Раздел 11. Переменное электромагнитное поле

11.1.Квазистатическое электромагнитное поле

11.1.1.Условия квазистатичности

Два основных уравнения Максвелла, которые еще называют законом полного тока и законом электромагнитной индукции, обусловливают взаимную зависимость электрических и магнитных полей. С первым из них

мы уже имели дело. При этом в правой части уравнения был постоянный ток I в отличие от (11.1.1,a), где i – переменный ток. Большее внимание здесь будет уделено другому уравнению:

или, в интегральной форме

стоящая в правой части, появляется только в переменном поле. Ее называют ЭДС электромагнитной индукции:

или, если ЭДС наводится в устройстве (например, в катушке) с числом витков w 1, то

где - потокосцепление катушки ( = w ).

Своим происхождением ЭДС индукции может быть обязана не только тому, что контур l пронизывается переменным во времени магнитным потоком, ЭДС может возникнуть и в случае, если контур меняет свою форму или ориентацию в пространстве (на этом основан принцип действия электрических машин постоянного тока).

На практике обычно имеют дело с переменными токами, меняющимися по периодическому закону, например i Im sin t , где 2 f угловая частота, f - частота переменного тока, T 1/ f период. Токи создают в окружающем

пространстве МП. Изменение тока приводит и к изменению МП. Однако это изменение не может произойти сразу во всем пространстве. Оно будет

значением создающего его тока, если изменения тока во времени значительно медленнее, чем время распространения в пространстве этого изменения. Математически это можно описать выражением

где l протяженность проводника, в котором наводится ЭДС.

Условие (11.1.4.) называют условием квазистационарности; при его соблюдении мгновенные значения индукции МП синхронно меняются с током (эффектом распространения МП можно пренебречь). Отметим также, что постоянный ток – это частный случай квазистационарного переменного тока с частотой f = 0.

11.1.2. Уравнения Максвелла в символической форме записи

Анализ ЭМП в квазистатическом приближении можно осуществлять с помощью комплексных величин аналогично тому, как это делается при расчете электрических цепей. Такое представление позволяет выделить при

рассмотрении временную компоненту в поле и рассматривать электрическую и магнитную составляющие ЭМП отдельно.

Ранее приведенные уравнения (11.1.1) и (11.1.2) записаны для мгновенных значений. Если напряженности E и H изменяются во времени синусоидально, то можно воспользоваться символическим методом и записать их с помощью комплексных функций. Пусть

e Em sin t E , H H m sin t H ,

где Im - мнимая часть, и, аналогично:

где стрелка представляет значок соответствия.

Поскольку напряженности E и H , кроме того, что они меняются во времени по синусоидальному закону, являются функциями векторными, то над

ними ставят стрелку и точку E m и H m . Стрелка означает, что речь идет о векторе в пространстве; точка над ней – о том, что проекции этого вектора на любую из координатных осей во времени изменяются синусоидально.

В дальнейшем переходим от амплитудных значений к действующим, поэтому опускаем индекс m. Уравнения Максвелла (11.1.1), (11.1.2) также можно записать в символической (комплексной) форме.

11.1.3. Уравнения Максвелла в проводящей среде

Пусть ЭМП распространяется в среде с электрической проводимостью и магнитной проницаемостью . Уравнения Максвелла (11.1.8), (11.1.9)

неизвестными E и H . Можно осуществить разделение переменных. Для этого возьмем ротор от уравнения (11.1.10) и используем известную формулу векторного анализа:

подставим из уравнения (11.1.11). Получим

Уравнение (11.1.12) является дифференциальным относительно H . Аналогичные операции можно осуществить с уравнением (11.1.11) для

получения дифференциального уравнения относительно E :

В уравнении (11.1.15) вместо частной производной использована полная

волне при выбранном расположении осей координат направлена вдоль оси Ох, об этом свидетельствует присутствие единичного орта оси Ох. Таким образом,

Волновое сопротивление zB можно трактовать как отношение Епад/ Нпад . Так как волновое сопротивление является числом комплексным (см. формулу

(11.1.20)) и имеет аргумент 45 , то сдвиг во времени между Епад и Нпад для одной и той же точки поля тоже равен 45 .

11.1.5. Теорема Умова-Пойнтинга

Энергия ЭМП. В любом электротехническом устройстве всегда существуют взаимно связанные ЭП и МП. При этом процесс преобразования и передачи энергии определяется их совокупностью, т. е. ЭМП. В системе источник – линия передачи – приемник можно отметить следующие энергетические процессы. В источнике механическая, химическая или другая энергии преобразуются в энергию ЭМП. Вдоль линии происходит передача этой энергии, а в самой линии она преобразуется в тепловую энергию потерь, в приемнике – в полезную механическую, тепловую или другие виды энергии. Поэтому очень важно выяснить роль ЭМП в процессе преобразования и передачи энергии.

Для полей в однородных средах мощность тепловых потерь в единице объема составляет

а объемные плотности энергии ЭП и МП соответственно равны

Максвелл предположил, и это в дальнейшем подтвердилось, что плотность энергии ЭМП

векторами E и H и свойствами среды. Однако, выражения (11.1.21) и (11.1.22), характеризуя распределение энергии, не дают никаких указаний относительно ее движения. Между тем, ясно, что передача энергии от источника к приемнику, как и выделение тепла в линии, связана с движением энергии ЭМП. Поэтому и движущаяся энергия ЭМП должна, очевидно, также определяться

векторами E и H .

Переносимую в пространстве энергию характеризуют потоком энергии П , проходящим в единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно к направлению распространения поля.

Пусть существует только волна, движущаяся в одном направлении. В этом случае объемная плотность энергии ЭМП

Мощность потока энергии, отнесенная к единице поверхности, нормальной к вектору скорости v, и есть вектор Пойнтинга П .

а) б) Рис. 11.1.2. Распределение потока мощности

Направление вектора Пойнтинга (как векторного произведения векторов E и H ) определяется по правилу правого винта (рис. 11.1.2,б).

Теорема Умова-Пойнтинга для мгновенных значений. Большое значение в теории ЭМП имеет теорема Умова-Пойнтинга, которая описывает энергетические соотношения в поле.

Теорема Умова-Пойнтинга имеет две формы записи: первая – для мгновенных значений, вторая – комплексная форма – для синусоидально изменяющихся величин. В соответствии с (11.1.22) энергия ЭМП в объеме dv равна

После преобразований [1] получим выражение, в которое вошла полная энергия в объеме dv,

В соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса объемный интеграл, находящийся в левой части выражения (11.1.24), преобразуется в поверхностный, откуда

(направленный внутрь объема) сквозь любую замкнутую поверхность s, ограничивающую некоторый объем V.

В соответствии с уравнением Джоуля-Ленца в дифференциальной формеЕ2 есть энергия, выделяющаяся в виде теплоты в единице объема в единицу

есть скорость изменения запаса электромагнитной энергии в единице объема. Но скорость изменения электромагнитной энергии есть мощность. Следовательно, поток вектора Пойнтинга сквозь любую замкнутую поверхность, ограничивающую объем V, равен мощности, выделяющейся в объеме V в виде теплоты и мощности, идущей на приращение энергии ЭМП.

Теорему Умова-Пойнтинга следует трактовать как уравнение энергетического баланса; левая часть (11.1.25) есть мощность, или энергия в единицу времени, доставляемая в виде потока Пойнтинга внутрь некоторого объема; правая часть есть энергия, расходуемая в единицу времени внутри объема.

Соотношение (11.1.25) получено в предположении, что среда внутри объема V однородна и изотропна, а также в предположении, что отсутствует отраженная волна и внутри объема нет источников электродвижущей силы.

Если поле не изменяется во времени, то

Необходимо обратить внимание и на то, что формула (11.1.25) учитывает возможность прохождения потока вектора П транзитом через объем V.

11.1.6. Примеры решения задач

11.1.6.1.ЭДС, наводимая в телах и контурах

Задача 11.1.1. Металлический диск радиусом r = 15 см, расположенный перпендикулярно к МП с индукцией В = 2Тл, вращается вокруг оси, проходящей через его центр (рис. 11.1.3). Два скользящих контакта (один на оси диска, другой на его краю) соединяют диск с сопротивлением R = 4 Ом. С какой угловой скоростью должен вращаться диск, чтобы на сопротивлении выделялась мощность 5 Вт?

Рис. 11.1.3. Металлический диск с магнитным полем

Решение. При повороте на угол радиус диска описывает площадь

S 12 r 2

и при и этом пересекает некоторое число линий магнитной индукции.

Изменение магнитного потока при повороте диска на угол равно

Ф 12 Br 2 .

Индуктируемая при этом между контактами ЭДС

e Фt 12 B r 2 .

(ток будет постоянный, так как ЭДС также постоянна во времени)

Ie B r 2

R 2R .

Выделяемая им мощность

P I 2 R B2 2r 4

4R ,

откуда

ω