Значения эксцентриситета

Симплекс	x1	x2, x3, x6, x8, x9, x11, x12, x13, x14	x4	x5, x15	x7, x10
Эксцентриситет	1/2	0	2	1	¥

Из данных табл. 10 следует, что наиболее интегрированным в комплексе (многофункциональным) является прибор x₄. Таким образом, эксцентриситет является мерой гибкости симплексов (приборов) к изменениям в системе. Аналогично может быть проведен топологический анализ множества Y по отношению R.

Дальнейший анализ направлен на изучение структуры, образуемой q-связями. Он основан на теории гомологий и использует понятия цепи, границы и группы гомологий. Примеры такого анализа можно найти в [14, 41].

Покрытия, разбиения и иерархии. Для того чтобы расширить понятие топологической связности и отразить в нем иерархический аспект, используют понятия покрытия, разбиения и иерархии. Семейство множеств называется покрытием множестваX, если и, где 2^X – множество всех подмножеств множества X. Если, кроме того, (), тоA называют разбиением множества X. Элементы множества A являются подмножествами X, т.е. можно считать как бы расположенными на уровне N+1, полагая, что элементы X расположены на уровне N. Теперь можно определить иерархию H при помощи отношения R, задаваемого условием: тогда и только тогда, когда, где– множество, расположенное на уровнеN, а – множество, расположенное на уровнеN+1. Отношение R, определяющее связи между иерархическими уровнями, представляется матрицей инциденций из нулей и единиц так же, как отношения между элементами одного уровня, например уровня N. Это справедливо для любых уровней иерархии и связей между ними. Для выполняется условие, где, – уровни иерархии. Например, для множества, элементами которого являются студенты вуза, разбиением будет их распределение по курсам, учебным группам или специальностям, а покрытием – их распределение по интересу или склонности к различным дисциплинам. Понятия покрытия, разбиения и иерархии можно обобщить на нечеткий случай, при этом множества X, R, A, H рассматриваются как нечеткие [42]. Использование этих понятий дает дополнительные возможности анализа структуры и представления сложных систем, состоящих из подсистем и иерархических уровней.

Построение разрешающих форм. Введение отношения на множестве элементов приводит к упрощениям и появлению классов эквивалентности состояний, что можно описать с помощью функции :, где– заданное множество состояний некоторой переменной, а– упрощенное множество состояний той же переменной. Выбираемая функция должна быть гомоморфной относительно свойств исходного множества, существенных с точки зрения рассматриваемой задачи, т.е. сохранять отношения между ними. Такая функция называется упрощающей. Разбиение исходного множества на неразличимые классы называется разрешающей формой. Разрешающие формы могут быть упорядочены по отношению уточнения, определенного на разбиениях данного множества. Такое отношение является отношением частичного порядка и образует решетку. Для двух разбиений X и Y, определенных на одном и том же множестве, будем говорить, что X является уточненным разбиением Y, если для любой группы существует группатакая, что. ТогдаY – укрупненное разбиение X. Решетка разрешающих форм на множестве состояний называется разрешающей решеткой. Рассмотрим несколько примеров. Пусть переменная, описывающая образование имеет следующие состояния: – неполное среднее образование,– среднее,– высшее,– ученая степень. Состояния переменной «образование» здесь упорядочены, и это накладывает ограничения на число разрешающих форм. Отношение порядка является очевидным, и всего имеется 8 разрешающих форм. Группам в отдельных разрешающих формах можно дать отдельные названия, например “cg” – высшее образование или ученая степень, “hc” – среднее или высшее и т.д. Решетка разрешающих форм изображена на рис. 5 в виде диаграммы Хассе. Стрелки на рис. 5 указывают направление уточнения разбиения. Для упрощения исходной системы надо двигаться в обратном направлении. Для сравнения рассмотрим переменную, состояния которой не упорядочены, например переменную, состояниями которой являются цвета светофора (красный, желтый, зеленый) или вкусовые ощущения (сладкий, горький, соленый). В этом случае все разбиения множества приемлемы, так как нет ограничений. Соответствующая диаграмма Хассе для переменной «вкус» дана на рис. 6.

e-h-c-g

eh-c-ge-hc-ge-h-cg

ehc-g eh-cg e-hcg

ehcg

Рис.5. Решетка разрешающих форм для полностью

упорядоченного множества

с-г-с

сг-с сс-г с-гс

сгс

Рис.6. Решетка для неупорядоченного множества

Следует отметить, что упорядочение определяется внешней целью и связанным с ней отношением. В первом примере значения переменной «образование» упорядочены порядковым отношением «лучше, чем», но для каких-то целей упорядочение может и не вводиться. Во втором примере состояния переменной «цвет» или переменной «вкус» также могут быть упорядочены, но мы такое упорядочение не вводим. Например, для переменной «цвет» – по положению в спектре, по воздействию на сетчатку глаза или по оценке участников дорожного движения. Для переменной «вкус» – по действию на вкусовые рецепторы и т.д.

Если множество состояний состоит из m состояний, то число разрешающих форм в решетке , . Расчеты дают приm=2; приm=3; приm=4; приm=5; приm=6; приm=7 и т.д. Без учета наименьшей и наибольшей уточненной формы число осмысленных упрощений равно .

Построение разрешающих форм для величин, характеризующих систему, дает возможность упростить модель за счет агрегирования исходных данных и повышения симметрии задачи.