Лабораторная работа № 14

Тема: Исследование свойств дифференцируемости ФМП.

Вариант № 1

Практическая часть

Задание № 1. Вычислить значение полного дифференциала функции , при , , , .

Задание № 2. Для функции найти:

1. Область определения функции

2. Показать область определения функции на плоскости;

3. Получить сетчатую непрозрачную поверхность для заданной функции

4. Задать цветовую палитру bone в режиме скрытых линий элементарных поверхностей

Задание № 3. Найти , если .

Задание № 4. Найти экстремумы функции и построить ее график

Теоретическая часть

Приведите полные ответы на следующие вопросы

1. Дайте определение понятию функции нескольких переменных. Как записывается символически функция u от нескольких независимых переменных x,y,z,…,t?

2. Зависят ли смешанные производные от порядка дифференцирования?

3. С помощью какого оператора строятся кривые в трехмерном пространстве для функций двух переменных?

4. Определение дифференциала функции

5. Как найти частные и смешанные производные второго порядка для функции Z=f(х,у) в среде Matlab.

6. Приведите пример неявно заданной функции двух переменных.

7. Уравнения касательной плоскости в точке если уравнение поверхности задано явно и неявно.

8. С помощью какого оператора создаются массивы данных для трехмерной графики?

9. Дайте определение понятию смешанная производная.

10. В каком случае прямая называется касательной к поверхности в точке ?

Лабораторная работа № 14

Тема: Исследование свойств дифференцируемости ФМП.

Вариант № 2

Практическая часть

Задание № 1. Найти частные производные и доказать, что .

Задание № 2. Найти , если

Задание № 3. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности заданной функцией в точке Р(0.2,0.5,1), построить график функции, нормаль и касательную плоскость.

Задание № 4.

Найти и если , где

Теоретическая часть

Приведите полные ответы на следующие вопросы

1. Дайте определение понятию области определения функции нескольких переменных.

2. Формула для вычисления полного дифференциала функции

3. Дайте определение частных производных ФНП

4. Как найти частные и смешанные производные третьего порядка для функции Z=f(х,у) в среде Matlab?

5. Дайте определение понятию сложная функция двух переменных. Приведите пример.

6. Приведите пример неявно заданной функции одной переменной.

7. Дайте определение понятию касательная плоскость.

8. С помощью какого оператора строят прозрачные сетчатые поверхности для функций двух переменных?

9. Дайте определение понятию стационарная точка функции двух переменных.

10. Дайте определение понятию сложная функция одной переменной. Приведите пример.

Лабораторная работа № 14

Тема: Исследование свойств дифференцируемости ФМП.

Вариант № 3

Практическая часть

Задание № 1. Найти экстремумы функции и построить ее график

Задание № 2. Найти частные дифференциалы функции в точке

Задание № 3. Найти частные производные функции заданной неявно.

Задание № 4.

Верно ли равенство, если.

Теоретическая часть

Приведите полные ответы на следующие вопросы:

1. С помощью какого оператора строят непрозрачные затененные поверхности для функций двух переменных?

2. По какой формуле находят полную производную сложной функции Z=f(x,y) одной независимой переменной.

3. С помощью какого оператора находятся производные функции n-го порядка по переменной x?

4. Дайте определение понятию сложная функция одной переменной.

5. Как в среде Matlab находят частные производные сложной функции Z=f(u(x,y),v(x,y)) по независимой переменной х.

6. Дайте определение понятию критическая точка функции двух переменных.

7. Как задать цветовую палитру при построении трехмерных графиков? Как вернутся к исходной цветовой палитре?

8. С помощью какого оператора вычисляются частные производные? Раскройте каждый элемент данного оператора.

9. Как в среде Matlab находят производную сложной функции Z=f(x,y) одной независимой переменной?

10. Дайте определение понятию нормаль к поверхности.

Лабораторная работа № 14

Тема: Исследование свойств дифференцируемости ФМП.

Вариант № 4

Практическая часть

Задание № 1. Найти частные производные функции

Задание № 2. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности заданной функцией в точке Р(-1,2,1), построить график функции, нормаль и касательную плоскость.

Задание № 3. Для функции найти:

1. Область определения функции

2. Показать область определения функции на плоскости;

3. Получить сетчатую прозрачную поверхность для заданной функции

4. Получить контурные линии поверхности заданной функции с использованием n=15 секущих поверхностей

Задание № 4.

Найти и если , где . Построить график.

Теоретическая часть

Приведите полные ответы на следующие вопросы

1. С помощью какого оператора выполняют масштабирование при построении трехмерных графиков?

2. Дать определение полного дифференциала функции нескольких переменных.

3. По какой формуле находят производную неявной функции одной переменной?

4. Дайте определение понятию сложной функции.

5. Запишите необходимое условие экстремума.

6. Дайте определение понятию сложная функция двух переменных.

7. Уравнения касательной плоскости в точке если уравнение поверхности задано явно и неявно.

8. Дайте определение понятиям особая точка и обыкновенная точка поверхности.

9. Формула для вычисления полного дифференциала функции

10. С помощью какого оператора наносят текст по трем заданным координатам?

Лабораторная работа № 14

Тема: Исследование свойств дифференцируемости ФМП.

Вариант № 5

Практическая часть

Задание № 1. Вычислить значение полного дифференциала функции , при , , , , ,

Задание № 2. Найти частные производные 2-го порядка для следующей функции

.

Задание № 3. Найти экстремумы функции и построить ее график

Задание № 4

Найти частные производные функции заданной неявно.

Теоретическая часть

Приведите полные ответы на следующие вопросы

1. С помощью какого оператора строятся контурные линии, образованные поверхностью заданной функции и n секущими плоскостями?

2. Определение частной производной сложной функции

3. По какой формуле находят частные производные неявной функции двух переменных.

4. Дайте определение понятию максимум функции двух переменных.

5. Уравнения нормали к поверхности в точке если уравнение поверхности задано явно и неявно.

6. Запишите определение неявно заданной функции

7. Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в замкнутой области .

8. Дать определение полного дифференциала функции нескольких переменных.

9. Какие режимы показа трехмерных графиков вы знаете?

10. Дайте определение понятию области определения функции нескольких переменных.

Лабораторная работа № 14

Тема: Исследование свойств дифференцируемости ФМП.

Вариант № 6

Практическая часть

Задание № 1. Для функции найти:

1. Область определения функции

2. Показать область определения функции на плоскости;

3. Получить сетчатую непрозрачную поверхность для заданной функции. Задать цветовую палитру summer.

4. Получить контурные линии поверхности заданной функции с использованием n=20 секущих поверхностей

Задание № 2. Вычислить приближённо

Задание № 3. Для функции U : найти .

Задание № 4. Дано . Найти выражение и вычислить в точке Р( 1; 2).

Теоретическая часть

Приведите полные ответы на следующие вопросы

1. Дайте определение понятию минимум функции двух переменных.

2. Приведите пример неявно заданной функции одной переменной.

3. Дайте определение понятию касательная плоскость.

4. Запишите достаточное условие экстремума.

5. С помощью какого оператора создаются массивы данных для трехмерной графики.

6. Дайте определение понятию функции нескольких переменных. Как записывается символически функция u от нескольких независимых переменных x,y,z,…,t?

7. Как найти частные и смешанные производные третьего порядка для функции Z=f(х,у) в среде Matlab.

8. В каком случае прямая называется касательной к поверхности в точке ?

9. С помощью какого оператора выполняют масштабирование при построении трехмерных графиков?

10. Дайте определение понятию стационарная точка функции двух переменных.

Лабораторная работа № 14

Тема: Исследование свойств дифференцируемости ФМП.

Вариант № 7

Практическая часть

Задание № 1. Вычислить значение полного дифференциала функции , при , , , , ,

Задание № 2. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к эллиптическому параболоиду в точке Р(1,-1,3), построить график функции, нормаль и касательную плоскость.

Задание № 3. Найти и если , где

Задание № 4. Доказать ,что функция удовлетворяет уравнению .

Теоретическая часть

Приведите полные ответы на следующие вопросы

1. С помощью какого оператора строятся кривые в трехмерном пространстве для функций двух переменных?

2. Дать определение полного дифференциала функции нескольких переменных.

3. Зависят ли смешанные производные от порядка дифференцирования?

4. Дайте определение понятию сложная функция двух переменных. Приведите пример.

5. Как задать цветовую палитру при построении трехмерных графиков? Как вернутся к исходной цветовой палитре?

6. Дайте определение понятию смешанная производная.

7. Как найти частные и смешанные производные второго порядка для функции Z=f(х,у) в среде Matlab.

8. По какой формуле находят производную неявной функции одной переменной.

9. Уравнения касательной плоскости в точке если уравнение поверхности задано явно и неявно.

10. Дайте определение понятию критическая точка функции двух переменных

.

Лабораторная работа № 14

Тема: Исследование свойств дифференцируемости ФМП.

Вариант № 8

Практическая часть

Задание № 1. Доказать, что функция удовлетворяет равенству .

Задание № 2. Найти , если

Задание № 3. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности заданной функцией в точке Р(3,1,4), построить график функции, нормаль и касательную плоскость.

Задание № 4.

Найти и если , где

Теоретическая часть

Приведите полные ответы на следующие вопросы

1. Дайте определение понятию максимум функции двух переменных.

2. Как в среде Matlab находят частные производные сложной функции Z=f(u(x,y),v(x,y)) по независимой переменной х.

3. Дайте определение понятию сложная функция одной переменной.

4. С помощью какого оператора строят непрозрачные затененные поверхности для функций двух переменных?

5. С помощью какого оператора вычисляются частные производные? Раскройте каждый элемент данного оператора.

6. Дайте определение понятиям особая точка и обыкновенная точка поверхности.

7. Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в замкнутой области .

8. Дайте определение понятию нормаль к поверхности.

9. Определение дифференциала функции

10. С помощью какого оператора наносят текст по трем заданным координатам?

.

Лабораторная работа № 14

Тема: Исследование свойств дифференцируемости ФМП.

Вариант № 9

Практическая часть

Задание № 1. Найти полный дифференциал функции:

;

Задание № 2. Проверить, что функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

Задание № 3. Найти частные производные функции заданной неявно.

Задание № 4.

Найти экстремумы функции и построить ее график

Теоретическая часть

Приведите полные ответы на следующие вопросы

1. С помощью какого оператора выполняют масштабирование при построении трехмерных графиков?

2. Дайте определение частных производных ФНП?

3. Дайте определение понятию максимум функции двух переменных.

4. Уравнения нормали к поверхности в точке если уравнение поверхности задано явно и неявно.

5. По какой формуле находят частные производные неявной функции двух переменных.

6. Запишите определение неявно заданной функции

7. Дайте определение понятию функции нескольких переменных. Как записывается символически функция u от нескольких независимых переменных x,y,z,…,t?

8. Запишите необходимое условие экстремума.

9. Дайте определение понятию смешанная производная.

10. Какие режимы показа трехмерных графиков вы знаете?

Лабораторная работа № 14

Тема: Исследование свойств дифференцируемости ФМП.

Вариант № 10

Практическая часть

Задание № 1. Найти частные дифференциалы функции в точке

Задание № 2. Найти и , если

Задание № 3. Для функции найти:

5. Область определения функции

6. Показать область определения функции на плоскости;

7. Получить сетчатую непрозрачную поверхность для заданной функции

8. Получить контурные линии поверхности заданной функции с использованием n=20 секущих поверхностей

Задание № 4. Вычислить приближённо

Теоретическая часть

Приведите полные ответы на следующие вопросы

1. Формула для вычисления полного дифференциала функции

2. Дайте определение понятию критическая точка функции двух переменных

3. В каком случае прямая называется касательной к поверхности в точке ?

4. Зависят ли смешанные производные от порядка дифференцирования?

5. С помощью какого оператора строятся контурные линии, образованные поверхностью заданной функции и n секущими плоскостями?

6. Определение дифференциала функции

7. Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в замкнутой области .

8. Как в среде Matlab находят частные производные сложной функции Z=f(u(x,y),v(x,y)) по независимой переменной х.

9. Дайте определение понятию сложной функции.

10. С помощью какого оператора строятся кривые в трехмерном пространстве для функций двух переменных?

Лабораторная работа № 14

Тема: Исследование свойств дифференцируемости ФМП.

Вариант № 11

Практическая часть

Задание № 1. Вычислить значение полного дифференциала функции , при , , , .

Задание № 2. Найти экстремумы функции и построить ее график

Задание № 3. Для функции найти:

1. Область определения функции

2. Показать область определения функции на плоскости;

3. Получить сетчатую непрозрачную поверхность для заданной функции

4. Задать цветовую палитру hot в режиме скрытых линий элементарных поверхностей

Задание № 4. Проверить, что Для функции

Теоретическая часть

Приведите полные ответы на следующие вопросы

1. Дайте определение понятию касательная плоскость.

2. Формула для вычисления полного дифференциала функции

3. С помощью какого оператора строятся кривые в трехмерном пространстве для функций двух переменных?

4. Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в замкнутой области .

5. Как найти частные и смешанные производные второго порядка для функции Z=f(х,у) в среде Matlab.

6. Приведите пример неявно заданной функции двух переменных.

7. Уравнения касательной плоскости в точке если уравнение поверхности задано явно и неявно.

8. С помощью какого оператора создаются массивы данных для трехмерной графики?

9. Дайте определение понятию нормаль к поверхности.

10. В каком случае прямая называется касательной к поверхности в точке ?

Лабораторная работа № 14

Тема: Исследование свойств дифференцируемости ФМП.

Вариант № 12

Практическая часть

Задание № 1. Вычислить значение полного дифференциала функции , при , , , .

Задание № 2. Для функции найти:

5. Область определения функции

6. Показать область определения функции на плоскости;

7. Получить сетчатую непрозрачную поверхность для заданной функции

8. Задать цветовую палитру bone в режиме скрытых линий элементарных поверхностей

Задание № 3. Найти , если .

Задание № 4. Найти экстремумы функции и построить ее график

Теоретическая часть

Приведите полные ответы на следующие вопросы

1. Дайте определение понятию функции нескольких переменных. Как записывается символически функция u от нескольких независимых переменных x,y,z,…,t?

2. Зависят ли смешанные производные от порядка дифференцирования?

3. С помощью какого оператора строятся кривые в трехмерном пространстве для функций двух переменных?

4. Определение дифференциала функции

5. Как найти частные и смешанные производные второго порядка для функции Z=f(х,у) в среде Matlab.

6. Приведите пример неявно заданной функции двух переменных.

7. Уравнения касательной плоскости в точке если уравнение поверхности задано явно и неявно.

8. С помощью какого оператора создаются массивы данных для трехмерной графики?

9. Дайте определение понятию смешанная производная.

10. В каком случае прямая называется касательной к поверхности в точке ?

Лабораторная работа № 14

Тема: Исследование свойств дифференцируемости ФМП.

Вариант № 13

Практическая часть

Задание № 1. Найти частные производные и доказать, что .

Задание № 2. Найти , если

Задание № 3. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности заданной функцией в точке Р(0.2,0.5,1), построить график функции, нормаль и касательную плоскость.

Задание № 4.

Найти и если , где

Теоретическая часть

Приведите полные ответы на следующие вопросы

1. Дайте определение понятию области определения функции нескольких переменных.

2. Формула для вычисления полного дифференциала функции

3. Дайте определение частных производных ФНП

4. Как найти частные и смешанные производные третьего порядка для функции Z=f(х,у) в среде Matlab?

5. Дайте определение понятию сложная функция двух переменных. Приведите пример.

6. Приведите пример неявно заданной функции одной переменной.

7. Дайте определение понятию касательная плоскость.

8. С помощью какого оператора строят прозрачные сетчатые поверхности для функций двух переменных?

9. Дайте определение понятию стационарная точка функции двух переменных.

10. Дайте определение понятию сложная функция одной переменной. Приведите пример.

Лабораторная работа № 14

Тема: Исследование свойств дифференцируемости ФМП.

Вариант № 14

Практическая часть

Задание № 1. Найти экстремумы функции и построить ее график

Задание № 2. Найти частные дифференциалы функции в точке

Задание № 3. Найти частные производные функции заданной неявно.

Задание № 4.

Верно ли равенство, если.

Теоретическая часть

Приведите полные ответы на следующие вопросы:

1. С помощью какого оператора строят непрозрачные затененные поверхности для функций двух переменных?

2. По какой формуле находят полную производную сложной функции Z=f(x,y) одной независимой переменной.

3. С помощью какого оператора находятся производные функции n-го порядка по переменной x?

4. Дайте определение понятию сложная функция одной переменной.

5. Как в среде Matlab находят частные производные сложной функции Z=f(u(x,y),v(x,y)) по независимой переменной х.

6. Дайте определение понятию критическая точка функции двух переменных.

7. Как задать цветовую палитру при построении трехмерных графиков? Как вернутся к исходной цветовой палитре?

8. С помощью какого оператора вычисляются частные производные? Раскройте каждый элемент данного оператора.

9. Как в среде Matlab находят производную сложной функции Z=f(x,y) одной независимой переменной?

10. Дайте определение понятию нормаль к поверхности.

Лабораторная работа № 14

Тема: Исследование свойств дифференцируемости ФМП.

Вариант № 15

Практическая часть

Задание № 1. Найти частные производные функции

Задание № 2. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности заданной функцией в точке Р(-1,2,1), построить график функции, нормаль и касательную плоскость.

Задание № 3. Для функции найти: